Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g .

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \( f \) und \( g \). \( f(x)=x^{4}-7 x^{2}+10, g(x)=7 x^{2}-8 \)
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie alle Werte von \( t \), sodass
a) die Funktion \( f \) mit \( f(x)=7(x-t)^{2}(x-2) \) eine dreifache Nullstelle hat.
b) der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=5(x-2)(x-4)(x-t) \) die x-Achse berührt.

Problem/Ansatz:

Also bei der 2 Aufgabe hab ich als x-Wert Wurzel auf 7+ Wurzel auf 31 raus und weiß jedoch nicht wie man auf den y Wert kommt. Und bei der dritten Aufgabe weiß ich nicht, wie ich das bestimmen kann ob es eine dreifache Nullstelle oder einen Berührpunkt haben kann.

Answer 1

x^4-7x^2+10 = 7x^2-8

x^4-14x^2+18= 0

x^2 = z

z^2-14z+18=0

pq-Formel:

7+-√(49-18)

x1= 7+√31

x2= 7-√31

resubstituieren:

-> z1=

z2=

Du musst das Ergebnis nur in f(x) oder g(x) einsetzen.

a) t=2

b) berühren:

f(x)= 0

f'(x) =0

Answer 2

b) der Graph der Funktion \( f(x)=5*(x-2)*(x-4)*(x-t) \) die x-Achse berührt.

1.)\( f(x)=5*(x-2)*(x-4)*(x-4)=5*(x-2)*(x-4)^2 \) doppelte Nullstelle bei \(x=4\)

2.)\( f(x)=5*(x-2)*(x-4)*(x-2)=5*(x-2)^2*(x-4) \)doppelte Nullstelle bei \(x=2\)

Ohne Substitution und ohne p,q, Formel:

\(x^4-7x^2+10 = 7x^2-8\)

\(x^4-14x^2 = -18\)

\((x^2-\frac{14}{2})^2 = -18+(\frac{14}{2})^2=31  |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2-\frac{14}{2} = \sqrt{31}\)

 \(x^2 = 7+\sqrt{31}\)

\(x₁ = \sqrt{ 7+\sqrt{31}}\)    

\(x₂ = -\sqrt{ 7+\sqrt{31}}\)

2.)

\(x^2-\frac{14}{2} = -\sqrt{31}\)

\(x^2 = 7-\sqrt{31}\)

\(x₃ = \sqrt{ 7-\sqrt{31}}\)

\(x₄ = -\sqrt{ 7-\sqrt{31}}\)