für welche Werte a, b ist folgende Matrix diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Für welche \( a, b \in \mathbb{R} \) ist die Matrix
\( \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0 \\ 2 a & b & a \\ 10 & 0 & 2 \end{array}\right) \)
diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Danke sehr!

Answer 1

Das (normierte) charakteristische Polynom ist

\((x+3)(x-b)(x-2)\). Ist also \(b\notin \{-3,2\}\), so ist

die Matrix diagonalisierbar, bleiben nur \(b=-3\) und \(b=2\)

genauer zu untersuchen. Der Wert von \(a\) spielt keine Rolle.

Answer 2

Hallo :-)

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis für den \(\R^3\) aus Eigenvektoren gibt.

Du musst also schauen, wann deine Eigenvektoren in Abhängigkeit von a und b eine Basis des \(\R^3\) bilden.