Wie viele normierte, irreduzible Polynome von Grad 3 gibt es in K⌊x⌋?

Question

Aufgabe: Sei K ein endlicher Körper mit der Mächtigkeit q, sei L/K eine Körpererweiterung mit ⌈L:K⌋ =3

Wie viele normierte, irreduzible Polynome von Grad 3 gibt es in K⌊x⌋?

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht wie der Grad des Polynoms mit der Mächtigkeit und der Körpererweiterung zusammen hängt.

Da es noch eine Teilaufgabe gibt, weiß ich nicht ob beider Voraussetzungen für diese Aufgabe von Belang sind.

Bin über jeden Tipp dankbar

Answer 1

Ist das Polynom

        \(p = x^3 + ax^2 + bx + c\)

reduzibel, dann gibt es \(e,f,g\in K\) mit

        \(p = (x+e)(x^2+fx+g)\).

Zähle wie viele normierte Poynome vom Grad 3 es in \(K[x]\) gibt.

Zähle wie viele davon reduzibel sind.

Dann minus rechnen.

Answer 2

Ist \(p=x^3+rx^2+sx+t\) reduzibel, dann gilt

\(p=(x-a)(x^2+bx+c)\)

mit gewissen \(a,b,c\), also

\(p=x^3+(b-a)x^2+(c-ab)x-ac\). Folglich

\(r=b-a,\; s=c-ab, \; t=-ac\). Gibt man

\(r,s,a\) vor, so ergibt sich

\(b=r+a, \; c=s+ar+a^2\).

\(t\) ergibt sich dann zwangsläufig.