Die Aufgabenstellung ist ein wenig unstrukturiert geraten. Ich schreibe sie mal etwas sauberer auf:
Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome \(R_{\le 2}\left[ x \right]\) mit dem Skalarprodukt
$$\left< r,s \right> :=2{ r }_{ 2 }{ s }_{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ s }_{ 1 }+2{ r }_{ 0 }{ s }_{ 0 }$$
für Polynome \(r:={ r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0 }\) und \(s:={ s }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ s }_{ 1 }x+{ s }_{ 0 }\) aus \(R_{\le 2}\left[ x \right]\)
und eine Basis \(B =\left\{ { p }_{ 1 },{ p }_{ 2 },{ p }_{ 3 } \right\}\) mit
$${ p }_{ 1 }:=3{ x }^{ 2 }+3$$$${ p }_{ 2 }:=-7x$$$${ p }_{ 3 }:=-{ x }^{ 2 }+x+3$$
Die Norm \(\left\| P ( x ) \right\|\) eines Polynoms \(P(x)={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+...+{ a }_{ 0 }\)
ist definiert als
$$\left\| P ( x ) \right\| =\sqrt { ({ a }_{ n }^{ 2 }{ +a }_{ n-1 }^{ 2 }{ +...+a }_{ 0 }^{ 2 }) }$$
Zur Lösung der Teilaufgaben muss man nun die Definitionen anwenden und sorgfältig rechnen (ich hoffe, dass ich das selbst auch geschafft habe :-) )
Also:
a)
$${ q }_{ 1 }:=\frac { { p }_{ 1 } }{ \left\| { p }_{ 1 } \right\| } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ \sqrt { 18 } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ 3\sqrt { { 2 } } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$$
b)
$${ I }_{ 2 }:={ p }_{ 2 }-\left< { p }_{ 2 },{ q }_{ 1 } \right> *{ q }_{ 1 }$$$$=-7x-\left< { 0{ x }^{ 2 }-7x+0 },\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+0x+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right> *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x-\left( 2*0*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +(-7)*0+2*0*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x-0*\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x$$
c)
$${ q }_{ 2 }:=\frac { { I }_{ 2 } }{ \left\| { I }_{ 2 } \right\| } =\frac { -7x }{ \sqrt { { (-7 })^{ 2 } } } =\frac { -7x }{ 7 } =-x$$
d)
$${ I }_{ 3 }:={ p }_{ 3 }-\left< { p }_{ 3 },{ q }_{ 1 } \right> *{ q }_{ 1 }-\left< { p }_{ 3 },{ q }_{ 2 } \right> *{ q }_{ 2 }$$$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left< -{ x }^{ 2 }+x+3,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+0x+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right> *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)-\left< -{ x }^{ 2 }+x+3,0{ x }^{ 2 }-x+0 \right> *(-x)$$
$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left( 2*(-1)*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +1*0+2*3*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -\left( 2*(-1)*0+1*(-1)+2*3*0 \right) *(-x)$$
$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left( \frac { -2 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 6 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -\left( -1 \right) *(-x)$$
$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\frac { 4 }{ \sqrt { 2 } } *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -x$$
$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-2{ x }^{ 2 }-2-x$$
$$=-3{ x }^{ 2 }+1$$
e)
$${ q }_{ 3 }:=\frac { { I }_{ 3 } }{ \left\| { I }_{ 3 } \right\| } =\frac { -3{ x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { (-3)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } =\frac { -3{ x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { 10 } } =\frac { -3 }{ \sqrt { 10 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } }$$
Somit lautet die gesuchte Orthonormalbasis:
$$B^{ * }=\left\{ { q }_{ 1 },{ q }_{ 2 },{ q }_{ 3 } \right\} =\left\{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-x,\frac { -3 }{ \sqrt { 10 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \right\}$$
