0 Daumen
335 Aufrufe

Aufgabe: Geben Sie eine ganzrationale Funktion mit folgenden Eigenschaften an und begründen Sie:

* streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4

*streng monoton fallend auf x>0 und streng monoton steigend für x<0


Problem/Ansatz: Grad 4 bedeutet ja

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ aber weiter komme ich nicht

Avatar von

Hast du vielleicht bei der Angabe "streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4" einen Fehler gemacht?

2 Antworten

0 Daumen
streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null

Streng monoton wachsend für \(x\neq 0\)  bedeutet \(f'(x)>0\)

für \(x\neq 0\) und du hast ja bisher

\(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\). Kannst du damit was anfangen?

Du musst ja nur eine Funktion angeben. Daher bietet es sich an,

nur ungerade Potenzen zu nehmen; denn die Ableitung

der geraden wechselt in x=0 ihr Vorzeichen, nimm also

\(f(x)=bx^3+dx\), wo also \(f'(x)=3bx^2+d\) ist,

mit geeigneten b und d. Leider ist der Grad \(\leq 4\)

und nicht gleich 4.

Stattdessen kann keine ganzrationale Funktion vom Grad 4

die geforderten Eigenschaften haben.

Avatar von 29 k

nur ungerade Potenzen zu nehmen gestaltet sich bei  Grad 4 einigermaßen schwierig.

Das ist mir klar. Daher meine weiteren Bemerkungen.

Was genau heißt eigentlich streng monoton wachsend für x ≠ 0 ?

Nimmt man a=0 (wie du vorzuschlagen scheinst), ist aber der Grad der Funktion nicht mehr 4, sondern kleiner.

Grad 4 war aber (für die erste Teilfrage) vorgegeben !

naja dann müsste ich doch die erste Ableitung bilden. Das hast du für mich getan.


Warum wechselt es bei x=0 die Vorzeichen? Ich habe nicht ganz verstanden, warum ich nur die ungeraden Exponenten betrachten soll.


Ist das denn schon die Lösung, dass es keine solche Funktion geben kann?

Die erste Ableitung von einem f, das den Grad 4 hat,

besitzt den Grad 3. Ein Polynom vom Grad 3

nimmt immer sowohl an unendlich vielen Stellen positive als

auch an unendlich vielen Stellen negative Werte an.

0 Daumen
* streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4

Eine solche Funktion gibt es nicht.

*streng monoton fallend auf x>0 und streng monoton steigend für x<0

\(f(x) = -x^2\)

Avatar von 105 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community