Aufgabe:
Sei a1∈(0,1) a_{1} \in(0,1) a1∈(0,1) und sei an+1=2an1+an a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{1+a_{n}} an+1=1+an2an für n∈N n \in \mathbb{N} n∈N. Untersuchen Sie die Folge (an)n∈N \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} (an)n∈N auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Geben Sie im Falle der Konvergenz auch den Grenzwert an.
Guten Tag! Was wäre hierfür die Lösung?
Du kannst es so schreiben:
(2an)/(1+an)= 2* (an+1-1)/(an+1) = 2* (1- 1/(an+1)) = 2- 2/(an+1)
Ich setze mal an = x
Streng monoton steigend
an+1 > an2·x/(1 + x) > x --> 0 < x < 1 → streng monoton steigend
Konvergenz (für große n gilt als Grenzwert)
an+1 = an2·x/(1 + x) = x --> x = 1
Beschränktheit
an+1 < 12·x/(1 + x) < 1 --> 0 ≤ x < 1
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