Ich denke beim Cauchy-Kriterium geht es um den Abstand
von Folgengliedern. Wenn die bei hinreichend großen Indices
kleiner als ein vorgegebenes ε>0 werden, dann ist die Folge konvergent.
Suche also N∈ℕ mit: Für alle n,m ≥ N gilt | f(n)-f(m) | < ε.
Hat man solche n und m, (o.B.d.A n<m) dann gibt es ein k∈ℕ
mit m=n+k und es ist zu betrachten | f(n)-f(n+k) | < ε. Hier also
\( | 2^{1-2^n} - 2^{1-2^{n+k}} | \lt \epsilon \) #
linke Seite berechnen gibt
\( | 2^{1-2^n} - 2^{1-2^{n+k}} | = |\frac{2}{2^n}-\frac{2}{2^{n+k}}|= |\frac{2^{k+1}-2}{2^{n+k}}|\)
Das ist aber nun sicherlich kleiner als \(\frac{2^{k+2}}{2^{n+k}} = 2^{2-n}\)
# ist also erfüllt, wenn gilt \( 2^{2-n} \lt \epsilon \)
bzw. \( (2-n ) \cdot ln(2) \lt ln(\epsilon) \)
<=> \( 2-n \lt \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)} \)
<=> \( n \gt 2- \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)} \)
Also Wähle N > \( 2- \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)} \)
was nach Archimedes immer möglich ist.
