Grenzwertberechnung mit Cauchy Kriterium von 2-2^(1-2n)

Question

Hallo ich würde gerne einen Grenzwert mit dem Cauchy Kriterium berrechnen, aber komme nicht weiter. Das Ziel ist die Ungleichung nach n umzustellen.
Aufgabe und Ansatz seht ihr noch mal in dem Bild:

Ich bin wie immer dankbar für jede Antwort. Vielen Dank!

Answer 1

Ich denke beim Cauchy-Kriterium geht es um den Abstand

von Folgengliedern. Wenn die bei hinreichend großen Indices

kleiner als ein vorgegebenes ε>0 werden, dann ist die Folge konvergent.

Suche also N∈ℕ mit: Für alle n,m ≥ N gilt | f(n)-f(m) | < ε.

Hat man solche n und m, (o.B.d.A n<m) dann gibt es ein k∈ℕ

mit m=n+k und es ist zu betrachten | f(n)-f(n+k) | < ε. Hier also

$| 2^{1-2^n} - 2^{1-2^{n+k}} | \lt \epsilon$  #

linke Seite berechnen gibt

$| 2^{1-2^n} - 2^{1-2^{n+k}} | = |\frac{2}{2^n}-\frac{2}{2^{n+k}}|= |\frac{2^{k+1}-2}{2^{n+k}}|$

Das ist aber nun sicherlich kleiner als  $\frac{2^{k+2}}{2^{n+k}} = 2^{2-n}$

# ist also erfüllt, wenn gilt $2^{2-n} \lt \epsilon$

bzw.     $(2-n ) \cdot ln(2) \lt ln(\epsilon)$

      <=>    $2-n \lt \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)}$

          <=>    $n \gt 2- \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)}$

Also Wähle N >   $2- \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)}$

was nach Archimedes immer möglich ist.

Comments

Danke erstmal für die Antwort.
Eigentlich sollte als Grenzwert aber 2 rauskommen bei n->inf

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Das Cauchy-Kriterium

( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kriterium#Kriterium )

sichert nur die Konvergenz ohne den Grenzwert zu kennen.

Er kommt also im Nachweis der Konvergenz nicht vor.