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Aufgabe:

Formulieren Sie das Cauchy Kriterium für die Konvergenz einer Folge und nutzen Sie das Kriterium um zu zeigen, dass für jede Folge an n∈N , die keine Nullfolge ist, die zugehörige Reihe sn =∑k=0n an nicht konvergiert.

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Cauchy Kriterium für die Konvergenz einer Folge

Das Cauchy Kriterium ist ein wichtiges Werkzeug in der Analysis, um die Konvergenz von Folgen zu überprüfen, ohne den Grenzwert der Folge explizit berechnen zu müssen. Eine Folge (an)(a_n) reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Formal ausgedrückt bedeutet dies:

Eine Folge (an)(a_n) ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn für jedes ϵ>0\epsilon > 0 ein NNN \in \mathbb{N} existiert, so dass für alle m,nNm, n \geq N gilt, dass aman<ϵ|a_m - a_n| < \epsilon.

Anwendung des Cauchy Kriteriums auf die Konvergenz von Reihen

Um zu zeigen, dass für jede Folge an,nNa_n, n \in \mathbb{N}, die keine Nullfolge ist, die zugehörige Reihe sn=k=0nans_n = \sum_{k=0}^{n} a_n nicht konvergiert, gehen wir wie folgt vor:

1. Annahme: Die Folge ana_n ist keine Nullfolge. Das bedeutet, es existiert ein ϵ0>0\epsilon_0 > 0 so, dass für alle NNN \in \mathbb{N}, es gibt mindestens ein nNn \geq N mit anϵ0|a_n| \geq \epsilon_0.

2. Ziel: Zeigen, dass unter dieser Annahme die Reihe sn=k=0nans_n = \sum_{k=0}^{n} a_n nicht konvergiert.

3. Beweis durch Widerspruch:
Wir nehmen an, dass die Reihe sns_n konvergent ist. Dann muss nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen gelten, dass für jedes ϵ>0\epsilon > 0 ein NNN' \in \mathbb{N} existiert, so dass für alle m,nNm, n \geq N' mit m>nm > n gilt:
k=n+1mak=smsn<ϵ.\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| = |s_m - s_n| < \epsilon.

4. Aufgrund unserer Annahme, dass ana_n keine Nullfolge ist, gibt es ein nNn \geq N', für das anϵ0|a_n| \geq \epsilon_0 gilt. Wählen wir ϵ<ϵ0\epsilon < \epsilon_0 und m=nm = n, dann müsste gelten:
k=n+1mak=anϵ0>ϵ,\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| = |a_n| \geq \epsilon_0 > \epsilon,
was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass für alle m,nNm, n \geq N' mit m>nm > n gilt, dass smsn<ϵ|s_m - s_n| < \epsilon.

5. Fazit: Daher kann die Annahme, dass die zugehörige Reihe sns_n konvergiert, nicht richtig sein, wenn ana_n keine Nullfolge ist. Folglich muss die Reihe sns_n nicht konvergieren, wenn ana_n keine Nullfolge ist, was das gewünschte Ergebnis ist.

Schlussfolgerung

Diese Argumentation zeigt, dass das Verhalten der Glieder ana_n einer Reihe direkt das Konvergenzverhalten der Reihe beeinflusst. Ist ana_n keine Nullfolge, so hat dies direkte Auswirkungen auf die Nicht-Konvergenz der zugehörigen Reihe sns_n, was mit dem Cauchy Kriterium für die Konvergenz von Reihen begründet werden kann.
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