euklidischen Metrik brechenen

Question

Betrachten Sie \( \mathbb{R}^{2} \) als metrischen Raum mit der euklidischen Metrik.

a) Geben Sie zu \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 \leq x^{2}+y^{2}<9\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \)

i) die Menge \( M^{\circ} \) aller inneren Punkte von \( M \) und
ii) die Menge \( \partial M \) aller Randpunkte von \( M \) an.

b) Beweisen Sie, dass \( M \) nicht offen ist.

Ansatz:
Ich habe diese Lösungen herausgefunden, aber ich bin nicht sicher, ob sie richtig sind. Und bei b weiß ich nicht weiter.

i) \( M^{\circ}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 < x^{2}+y^{2}<9\right\} \)
ii)  \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=9\right\} \)

b)

Comments

Habe meine Antwort ergänzt.

Answer 1

Zu b)

wenn \(M\) offen wäre, so bestünde \(M\) nur aus

inneren Punkten. Dann wäre also \(M=M^{\circ}\),

was nicht zu deinen Ergebnissen passt.

Zu a)

i) ist OK.

ii) ist falsch. Der Rand besteht aus zwei konzentrischen

Kreislinien:

\(\partial M=\{(x,y):\; x^2+y^2=4\}\cup\{(x,y):\; x^2+y^2=9\}\).