euklidischen Metrik brechenen

Question

Betrachten Sie $\mathbb{R}^{2}$ als metrischen Raum mit der euklidischen Metrik.

a) Geben Sie zu $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 \leq x^{2}+y^{2}<9\right\} \subset \mathbb{R}^{2}$

i) die Menge $M^{\circ}$ aller inneren Punkte von $M$ und
ii) die Menge $\partial M$ aller Randpunkte von $M$ an.

b) Beweisen Sie, dass $M$ nicht offen ist.

Ansatz:
Ich habe diese Lösungen herausgefunden, aber ich bin nicht sicher, ob sie richtig sind. Und bei b weiß ich nicht weiter.

i) $M^{\circ}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 < x^{2}+y^{2}<9\right\}$
ii)  $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=9\right\}$

b)

Comments

Habe meine Antwort ergänzt.

Answer 1

Zu b)

wenn $M$ offen wäre, so bestünde $M$ nur aus

inneren Punkten. Dann wäre also $M=M^{\circ}$,

was nicht zu deinen Ergebnissen passt.

Zu a)

i) ist OK.

ii) ist falsch. Der Rand besteht aus zwei konzentrischen

Kreislinien:

$\partial M=\{(x,y):\; x^2+y^2=4\}\cup\{(x,y):\; x^2+y^2=9\}$.