Fußball mit Umfang 69 cm. Gesucht: Durchmesser und Seitenlänge der Fünfecke und Sechsecke!

Question

Standard-Fußball in Größe 5: 

Bekannt:  Umfang 69 cm.

Gesucht: Durchmesser und Seitenlänge der regelmäßigen 12 Fünfecke und 20 Sechsecke!

Answer 1

Auf zum Beispiel dem folgenden Bild (Quelle Wikipedia) kann man erkennen, dass man um einmal um den Fußball herumzukommen die folgende Strecke zurücklegen muss:

2*Seite des Sechsecks + 4*Höhe des Fünfecks + 4*Höhe des Sechsecks

Außerdem gilt: Seite des Sechsecks = Seite des Fünfecks

Damit kann man die ganze Gleichung auf eine einzige Variable reduzieren, die Seite des Sechsecks s.

Denn die Höhe eines Sechsecks beträgt

S = s√3

Und die Höhe eines Fünfecks beträgt:

F = s/2 √(5+2√5)

Damit erhält man die Gleichung:

2s + 4 s/2√(5+2√5) + 4s√3 = 69

s*(2+2√(5+2√5) + 4√3) = 69

s = 69/(2+2√(5+2√5) + 4√3)

s ≈ 4.57 cm

 

Für den Durchmesser muss man den Fußball wohl als Kugel nähern und erhält dann mit

U = πd

d = U/π ≈ 21.96 cm

Comments

Vielleicht geht es auch anders:

Umfang U = 69 cm

Radius r = U/(2pi) = 69/(2·pi) = 10,98 cm

Durchmesser d = U/pi = 69/pi = 21,96 cm

Kugeloberfläche O = 4 pi r^2 = 4761/pi = 1515 cm²

Fläche 5 Eck mit der Kante a: A = √(10·√5 + 25)/4·a^2

Fläche 6 Eck mit Kanta a: A = 3·√3/2·a^2

O = 12 * √(10·√5 + 25)/4·a^2 + 20 * 3·√3/2·a^2

O = a^2·(3·√(10·√5 + 25) + 30·√3)

a = 0.1173572696·√O

a = 4,568610685

Ok. Diese Lösung ist auch nicht einfacher. Es zeigt aber das man auch über unterschiedliche Ansätze durchaus zur gleichen Lösung kommen kann.