Zeigen Sie nun, dass die Funktion f Riemann integrierbar ist, jedoch keine Stammfunktion besitzt

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe betrachten wir eine Riemann-integrierbare Funktion, welche keine Stammfunktion besitzt. Dazu sei daran erinnert, dass wir auf einem Intervall \( I \subset \mathbb{R} \) eine Funktion \( F: I \rightarrow \mathbb{R} \) Stammfunktion von \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) nennen, falls \( F \) differenzierbar auf \( I \) ist mit \( F^{\prime}(x)=f(x) \) für alle \( x \in I \). Zeigen Sie nun, dass die Funktion \( f \), definiert durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x \in[-1,0) \\ 1, & x \in[0,1] \end{array}\right. \)
zwar auf \( [-1,1] \) Riemann-integrierbar ist, dort jedoch keine Stammfunktion \( F \) besitzt.

Problem/Ansatz:

Wie genau kann ich dies mithilfe der Zwischenwerteigenschaft der Ableitung zeigen?

Comments

Wenn f die Ableitung von F auf I wäre, müsste nach dem Zwischenwertsatz für Ableitungen f jeden Wert zwischen f(-1)=0 und f(1)=1 annehmen. Das mach f aber offensichtlich nicht.

Answer 1

Angenommen es gäbe eine, dann wäre es für x<0  F(x)=C

und für x>0   F(x)= x+D.

Durch den Kommentar animiert:

Und es wäre F(0)= K .

Da F bei 0 diffb. also auch stetig ist, wäre K=C=D

Differenzenquotient an der Stelle 0 für h>0  wäre

\( \frac{F(0+h)-F(0)}{h}= \frac{h+D-K}{h}= \frac{h}{h} \) 

Grenzwert für h gegen 0 wäre also 1.

Und für h<0 wäre es

\( \frac{F(0+h)-F(0)}{h}= \frac{C-K}{h} = \frac{0}{h} \)

Grenzwert für h gegen 0 wäre also 0.

o, also kein gemeinsamer GW

für h gegen 0. ==> F bei 0 nicht diffb.

Comments

Der Differenzenquotient an der Stelle 0 wäre aber doch (F(0+h)-F(0)) / h. Leider fehlt bei dir eine Aussage über den Wert von F(0).

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Ach ja, habe ich übersehen und jetzt nachgereicht.

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Vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung