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Aufgabe: Bei Aufgabe 6.c) soll die Verkettung f mit g auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden .


Problem/Ansatz: In den Aufgabenteilen davor wurde bereits festgestellt,dass f nicht injektiv ist und g injektiv ist.

Für 0≠ y ∈ Kern(f) da ja f nicht injektiv wird in den Lösungen folgende Gleichung aufgestellt:

g(f(y)) ≠ 0(Vektor) da g inketiv ist.Müsste aber nicht g(f(y)) = 0 (Vektor) gelten, da ja y ∈ Kern(f) und somit f(y) =0 und das wiederum impliziert: g(f(y)) = g(0)=0,da der Nullvektor ja immer im Kern enhalten ist und somit auch im Kern von g enthalten ist.Also wo liegt mein Denkfehler ?Screenshot 2023-04-13 215452.png

Text erkannt:

Aufgabe 6
Gegeben sei die reelle (3×4) (3 \times 4) -Matrix
A : =(121201012121) A:=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)
(a) Die lineare Abbildung f : R4R3 f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} sei gegeben durch f(x) : =Ax,xR4 f(\vec{x}):=A \cdot \vec{x}, \vec{x} \in \mathbb{R}^{4} .
(i) Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) \operatorname{Kern}(f) .
(ii) Ist die Abbildung f f injektiv? Ist die Abbildung f f surjektiv?
(b) Die lineare Abbildung g : R3R4 g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} sei gegeben durch g(x) : =ATx,xR3 g(\vec{x}):=A^{T} \cdot \vec{x}, \vec{x} \in \mathbb{R}^{3} .
(i) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(g) \operatorname{Kern}(g) .
(ii) Ist die Abbildung g g injektiv? Ist die Abbildung g g surjektiv?
(c) Ist die Abbildung gf : R4R4,x(gf)(x)=g(f(x)) g \circ f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \vec{x} \mapsto(g \circ f)(\vec{x})=g(f(\vec{x})) injektiv bzw. surjektiv ?
(d) Ist die Abbildung fg : R3R3,x(fg)(x)=f(g(x)) f \circ g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto(f \circ g)(\vec{x})=f(g(\vec{x})) injektiv bzw. surjektiv ?

Screenshot 2023-04-13 215551.png

Text erkannt:

(c) Aus Kern(f){0} \operatorname{Kern}(f) \neq\{0\} folgt Kern(gf){0} \operatorname{Kern}(g \circ f) \neq\{0\} : Da für 0yKern(f) 0 \neq \vec{y} \in \operatorname{Kern}(f) wegen der Injektivität von g g die Gleichung
(gf)(y)=g(f(y))0 (g \circ f)(\vec{y})=g(f(\vec{y})) \neq \overrightarrow{0}
gilt, ist die Abbildung gf g \circ f nicht injektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt, dass gf g \circ f auch nicht surjektiv ist.


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Hallo,

Du hast Recht, es liegt eine Unklarheit vor.

Es gilt für lineare Abbildungen immer: Kern(f)Kern(gf)Kern(f) \sub Kern(g \circ f); denn - wie Du richtig gesagt hast:

yKern(f)f(y)=0gf(y)=g(0)=0yKern(gf)y \in Kern(f) \Rightarrow f(y)=0 \Rightarrow g \circ f(y)=g(0)=0 \Rightarrow y \in Kern (g \circ f)

Wenn also f nicht injektiv ist, dann auch nicht die Verknüpfung.

´Der Lösungsvorschlag ist eventuell mit der Aussage durcheinander gekommen, dass sogar Gleichheit der beiden Kerne gilt, wenn g injektiv ist:

yKern(gf)g(f(y))=0f(y)Kern(g)={0}fKern(f)y \in Kern(g \circ f) \Rightarrow g(f(y))=0 \Rightarrow f(y) \in Kern(g)=\{0\} \Rightarrow f \in Kern(f)

Gruß Mathhilf

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