Aufgabe: Bei Aufgabe 6.c) soll die Verkettung f mit g auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden .
Problem/Ansatz: In den Aufgabenteilen davor wurde bereits festgestellt,dass f nicht injektiv ist und g injektiv ist.
Für 0≠ y ∈ Kern(f) da ja f nicht injektiv wird in den Lösungen folgende Gleichung aufgestellt:
g(f(y)) ≠ 0(Vektor) da g inketiv ist.Müsste aber nicht g(f(y)) = 0 (Vektor) gelten, da ja y ∈ Kern(f) und somit f(y) =0 und das wiederum impliziert: g(f(y)) = g(0)=0,da der Nullvektor ja immer im Kern enhalten ist und somit auch im Kern von g enthalten ist.Also wo liegt mein Denkfehler ?
Text erkannt:
Aufgabe 6
Gegeben sei die reelle (3×4)-Matrix
A : =⎝⎛−10221110−22−11⎠⎞
(a) Die lineare Abbildung f : R4→R3 sei gegeben durch f(x) : =A⋅x,x∈R4.
(i) Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f).
(ii) Ist die Abbildung f injektiv? Ist die Abbildung f surjektiv?
(b) Die lineare Abbildung g : R3→R4 sei gegeben durch g(x) : =AT⋅x,x∈R3.
(i) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(g).
(ii) Ist die Abbildung g injektiv? Ist die Abbildung g surjektiv?
(c) Ist die Abbildung g∘f : R4→R4,x↦(g∘f)(x)=g(f(x)) injektiv bzw. surjektiv ?
(d) Ist die Abbildung f∘g : R3→R3,x↦(f∘g)(x)=f(g(x)) injektiv bzw. surjektiv ?

Text erkannt:
(c) Aus Kern(f)={0} folgt Kern(g∘f)={0} : Da für 0=y∈Kern(f) wegen der Injektivität von g die Gleichung
(g∘f)(y)=g(f(y))=0
gilt, ist die Abbildung g∘f nicht injektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt, dass g∘f auch nicht surjektiv ist.