Beweis mit vollständiger Induktion, dass für alle n aus N gilt:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-1} \)) = n² 

Wie mache ich das am besten? Bin für jede Hilfe dankbar

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:\(\quad\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=n^2}\quad;\quad n\in\mathbb N\)

Induktionsverankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=\sum\limits_{k=1}^1(2k-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

$$\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(2k-1)=(\green{2(n+1)-1})+\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)}=\green{2n+1}+\pink{n^2}=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo,

vermutlich sollst du das mit vollständiger Induktion beweisen.

Induktionsanfang mit n=1 bekommst du bestimmt selbst hin.

Induktionsvoraussetzung: Formel gelte für n

Induktionsschritt: Gilt sie dann auch für n+1?

...

Tipp

(n+1)^2 = n^2+2n+1=n^2 + 2(n+1) - 1

:-)

Answer 3

Induktionsanfang: Beweise, dass

        \(\sum\limits_{k=1}^1(2k-1) = 1^2\)

ist.

Induktionsschritt: Sei \(n\in \mathbb{N}\) mit

        \(\sum\limits_{k=1}^n(2k-1) = n^2\).

Beweise, dass

        \(\sum\limits_{k=1}^{n+1}(2k-1) = (n+1)^2\)

ist.