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Aufgabe: Sei (Sn) n∈ℕ eine beliebige, gegebene Folge. Es wird nun eine weitere Folge (an)n∈ℕ wie folgt definiert:

a1 = s1 und an = Sn - Sn - 1 für alle n > 1.

Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass dann für alle n ∈ ℕ 

\( \sum\limits_{k=1}^{n} \)  ak = Sn gilt.


Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll und sie per Induktion lösen soll. Ich hoffe, dass mir hier jemand erklären kann, wie ich an die Aufgabe herangehen kann.

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a1 = s1 und an = Sn - Sn - 1 für alle n > 1.

Beh.:  \( \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k = S_n \)

n=1 : Da ist es \( \sum \limits_{k=1}^{1}  a_k = S_1  \)

also      \(  a_1 = S_1  \) und so ist ja a1 definiert .

Angenommen es gilt für ein n∈ℕ, also \( \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k = S_n \)

Dann gilt nach Def. von an+1 auch \(  a_{n+1}=S_{n+1} -S_n  \)


Jetzt für Sn die Induktionsannahme einsetzen gibt

             \(  a_{n+1}=S_{n+1} -  \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k \)

Summe auf die andere Seite:

   \(  a_{n+1} +   \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k =S_{n+1} \)

==>    \(   \sum \limits_{k=1}^{n+1}  a_k =S_{n+1} \)     q.e.d.

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