Zeige: \frac{n !}{(n-k) !

Question

Hallo, könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?

Text erkannt:

c) Zeige: \( \frac{n !}{(n-k) ! n^{k}}=\prod \limits_{m=0}^{k-1}\left(1-\frac{m}{n}\right) \).

Comments

Vielleicht kommst du drauf, wenn Du Dir das Ganze mal "ausschreibst":

$$\frac{n!}{(n-k)!n^k}=\\\frac{1 \cdot 2\cdot 3\cdots (n-k-1)\cdot (n-k)\cdot (n-k+1) \cdots (n-1)\cdot n }{1 \cdot 2\cdot 3\cdots (n-k-1)\cdot (n-k) n \cdot n \cdots n}$$

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom=\frac{n!}{(n-k)!\cdot n^k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)\cdot\green{(n-k)!}}{\green{(n-k)!}\cdot n^k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}$$$$=\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}=\frac{n-0}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-(k-1)}{n}$$$$=\left(1-\frac{\red0}{n}\right)\left(1-\frac{\red1}{n}\right)\left(1-\frac{\red2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{\red{k-1}}{n}\right)=\prod\limits_{\red{m=0}}^{\red{k-1}}\left(1-\frac{\red m}{n}\right)$$

Comments

Vielen dank für die Antwort. Ich hätte noch eine Frage, müsste ganz am Ende nicht das Produktzeichen stehen statt des Summenzeichens?

---

Natürlich muss das Produktzeichen am Ende stehen, du hast völlig Recht.

Ich habe es korrigiert.

Answer 2

Forme das Produkt auf der rechten Seite um, indem du erst auf den Hauptnenner n bringst, dann erhältst du einen Bruch, der im Zähler \( \prod_{m=0}^{k-1}{(n-m)} \) und im Nenner n^k. Das Produkt im Zahler ist \( \frac{n!}{(n-k)!} \).