Zeige die Divergenz der Reihe Σ_{n=1}^{∞}{\frac{1}{a+bn}}

Question

Aufgabe:

Seien a,b ∈ℝ mit a≥0 und b>0. Zeige die Divergenz der Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{a+bn}} \)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht drauf, wie ich das zeigen soll. Wir hatten bisher nur das Minoranten- und Majorantenkriterium und die harmonische Reihe zum Abschätzen... aber die klappt hier nicht, wenn ich mich nicht irre. Jetzt stehe ich auf dem Schlauch. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(n\in\mathbb N\) und \(a\ge0\) sowie \(b>0\) gilt:$$\frac an\le a\implies\frac an+b\le a+b\implies\frac{1}{\frac an+b}\ge\frac{1}{a+b}$$Damit gilt folgende Abschätzung für die Summanden:$$\frac{1}{a+bn}=\frac{1}{\left(\frac an+b\right)n}=\frac{1}{\frac an+b}\cdot\frac 1n\ge\frac{1}{a+b}\cdot\frac1n$$Da die harmonische Reihe divergiert, gilt:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{a+bn}\ge\frac{1}{a+b}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\to\infty$$