Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit 2 Unbekannten

Question

Für a,b ∈ ℝ.

A = $\begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ b & 2 &0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Man soll das charakteristische Polynom der Matrix A angeben.

Und für welche a,b ∈ ℝ die Matrix diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Die 2 Parameter irritieren mich etwas. Ich würde es hier mit einer Fallunterscheidung versuchen zu erklären und zwar: Fall 1: a = 0 und b = 0, Fall 2: a ≠ 0 und b = 0, Fall 3: a = 0 und b ≠ 0.

Dann schaue ich mir die Eigenwerte der Matrix an.

Kann mir jemand sagen, ob es so funktioniert?

Answer 1

Du kannst Dir hier

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

einen Überbilck verschaffen

A:= {{2,a,0}, {b, 2, 0}, {0,0, -2}}

$\small A{-\lambda}E \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 2&a&0\\b&-\lambda + 2&0\\0&0&-\lambda - 2\\\end{array}\right)$

ist eine Blockmatrix.

$\left(\lambda + 2 \right) \; \left( \left(2 - \lambda \right)^{2} - ab \right)= 0$

$Eigenwerte \, := \, \left\{ -2, -\sqrt{a \; b} + 2, \sqrt{a \; b} + 2 \right\}$

Interessant ist auch der Fall a<0, b>0 und umgekehrt....

Comments

Für die Fälle a<0 und b>0 und a>0 und b<0 ist die Matrix doch nicht diagonalisierbar, da die wir über die reelen Zahlen gesehen die entstehende komplexe Zahl nicht darstellen können und somit nur einen eigenwert im reelen hätten.

Auch die Trigonalisierbarkeit funktioniert in diesem Fall über R nicht mehr, da das charakteristische Polynom nicht in seinen Linearfaktoren zerfällt.

Liege ich da richtig?

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Die Aufgabe nimmt in der Form keinen Bezug darauf über welchem Körper K die Diagonalisierung erfolgen soll?

Für a=b wäre es eine symmetrische Matrix mit rellen Eigenwerten und für a=b=2 wäre mit einer 0 als EW zu rechnen.

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die matrix soll über R diagonalisiert werden

ich habe es vergessen mit anzugeben sorry.