Diagonalisierbarkeit einer Matrix überprüfen

Question

Ich soll bei der Matrix \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) ∈ Q^3×3 angeben, ob sie diagonalisierbar ist. Ich habe es bei einem Online-Rechner ausprobiert, der sagt, sie ist diagonalisierbar, aber ich verstehe nicht warum. Als Eigenwerte habe ich 1 und 2 ausgerechnet. Brauche ich nicht drei unterschiedliche Eigenwerte, damit die Matrix diagonalisierbar ist?

Answer 1

Wenn es drei versch. EWe gibt, dann ist die Matrix diagonalisierbar. Aber nicht umgekehrt. Achte auf die genauen Formulierungen in den Aussagen.

Zum Nachweis reicht es, wenn für jeden EW algebraische Vielfachheit = geometrischer V ist.

Einer der beiden von Dir gefundenen EWe ist ja eine doppelte Nullstelle (also algV=2). Prüfe für diesen die geomV.