Limes Inferior und Superior von Mengenfolgen

Question

Aufgabe:

$$\text{Die Folge}\ (A{}_{n}){}_{n\in\mathbb{N}}\ \text{sei definiert durch }\\A{}_{2k+1}={(1,3,5,...)}k\in\mathbb{N} \\ A{}_{2k}={(2,4,6,...)}k\in\mathbb{N}\\\text{Bestimme limes superior und limes inferior der Folge} \ A_{n}$$

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich mit den Definitionen hier Limes Inferior und Limes Superior. Vorgegeben sind die Definitionen für Mengenfolgen https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior_von_Mengenfolgen

Comments

Um Limes Inferior und Limes Superior zu bestimmen, muss man Supremum und Infimum einer Menge von Folgengliedern bestimmen können.

\(A_{2k+1}={(1,3,5,...)}k\in\mathbb{N}\)

Soll \(A_1\) tatsächlich die Folge \((1,3,5,\dots)\) sein?

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alle ungeraden Folgenglieder enthalten die ungeraden natürlichen Zahlen und alle geraden Folgenglieder enthalten die geraden natürlichen Zahlen

Answer 1

Wenn wirklich die Mengen \(A_n\) abwechselnd die Menge der geraden bzw. ungeraden Zahlen sein sollen. Dann ist der Durchschnitt der \(A_n\) über \(n\geq m\) leer und also auch der Limes inferior die leere Menge. Analog ist die Vereinigung der \(A_n\) über \(n \geq m\) immer ganz \(\N\), also auch der Limes superior.