Limes superior und Limes inferior

Question

Aufgabe: Hallo, ich sitze jetzt schon länger an dieser Aufgabe, aber habe sie nicht ganz verstanden. Kann mir vielleicht jemand die Aufgabe erklären oder mir einen Ansatz geben?

Problem/Ansatz:

(a) Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( a_{n}:=2^{n}\left(1+(-1)^{n}\right)+1 \). Bestimmen Sie \( \lim \inf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \) und \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n+1} / a_{n} \).
(b) Zeigen Sie: Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reller Zahlen konvergiert genau dann gegen ein \( a \in \mathbb{R} \), wenn
\( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \)

Answer 1

\( \lim \inf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \)

Wenn du dir die ersten Folgengleider mal hinschreibst

siehst du schnell

Es ist immer abwechselnd 2^n + 1   und 1

Also ist der kleinste Häufungspunkt bei 1, das ist der \( \lim \inf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \).

Entsprechend bei a_n+1/a_n ist es abwechselnd 1/( 2^n + 1 )  und   2^n + 1.

Also der kleinste Häufungspunkt 0 und damit  \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n+1} / a_{n} =0\)

Tipp zu b) kleinster Häufungspunkt = größer Häufungspunkt

<=>  Es gibt genau einen Häufungspunkt .