Aloha :)
Gegeben ist die Menge:$$D\coloneqq\left\{d_n\coloneqq\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\;\bigg|\;n\in\mathbb N\right\}$$
zu 1) Umformung des Ausdrucks
$$d_n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\left(\frac{2n}{2n}+\frac{1}{2n}\right)^n=\left(\frac{2n+1}{2n}\right)^n=\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^{-n}=\left(\frac{2n+1-1}{2n+1}\right)^{-n}$$$$\phantom{d_n}=\left(\frac{2n+1}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}\right)^{-n}=\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)^{-n}$$
zu 2) Minimum von \(D\) bestimmen
Gemäß der Bernoulli-Ungleichung \((1+x)^n\ge1+nx\) mit \(x\ge-1\) und \(n\in\mathbb N_0\) gilt:$$d_n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\ge1+n\cdot\frac{1}{2n}=1+\frac12=\frac32$$Der Wert \(\frac32\) ist nicht nur eine untere Schranke, sondern wird für \(n=1\) sogar angenommen. Also ist \(\frac32\) das Minimum der Menge \(D\).
zu 3) Obere Schranke von \(D\) prüfen
Die Folge \(a_n\coloneqq\left(1+\frac xn\right)^n\) ist bekannt. Sie ist streng monoton wachsend und ihr Grenzwert ist \(e^x\). Daher ist:$$d_n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\left(1+\frac{\frac12}{n}\right)^n<\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac12}{n}\right)^n=e^\frac12=\sqrt e<2$$
