Wie sind die Polstellen zu bestimmen

Question

Aufgabe:

$$f(x)= \frac{(x-3)^2}{(x+2)(x+4)^2}$$

Handelt es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel?

Problem/Ansatz:

Die Polstellen sind ja -2 und -4.

Aber wie geht das mit dem Vorzeichenwechsel? Kann mir das jemand erklären?

Comments

Dein GTR kann es Dir zeigen.

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Also so wie ich das verstehe ist bei -4 kein Vorzeichenwechsel aber bei -2, weil die Funktion da vom Negativen ins Positive

Kann man das auch mathematisch bestimmen oder geht das nur durch ablesen?

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Wenn x durch -2 geht, ändert (x+2) sein Vorzeichen und die Divsion durch (x+2) deshalb das Vorzeihen des Funktionsterms.

Wenn x durch -4 geht, ändert (x+4) sein Vorzeichen und die zweimalige Divsion durch (x+4) deshalb das Vorzeihen des Funktionsterms nicht.

Answer 1

Solche "Vorzeichenwechselfragen" kannst du sehr einfach mit Hilfe einer Vorzeichentabelle beanworten.

Du zerlegst den Definitionsbereich an den Pol- und Nullstellen in Intervalle und bestimmst für jedes Intervall für einen Testwert aus dem Intervall das Vorzeichen:

	\((-\infty,-4)\)	\((-4,-2)\)	\((-2,3)\)	\((3,+\infty)\)
\((x-3)^2\)	+	+	+	+
\((x+2)\)	-	-	+	+
\((x+4)^2\)	+	+	+	+
Vorzeichen von f(x)	-	-	+	+

Answer 2

Beide Nennernullstellen sind keine Nullstellen des Zählers, andernfalls könnte solange gekürzt werden, bis dieser Zustand erreicht ist. Ist die Vielfachheit der Polstelle nach dem eventuell erforderlichen Kürzen durch zwei teilbar, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, andernfalls um eine mit Vorzeichenwechsel. Das ist bei Nullstellen entsprechend.