Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.

Question

Aufgabe $f=$ (i) Zeigen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=x-1-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ für $x \in \mathbb{R}$ mindestens eine Nullstelle besitzt.
(ii) Sei $f:[a, b] \rightarrow[a, b]$ stetig. Zeigen Sie, dass $f$ einen Fixpunkt hat, d. h. dass es ein $x \in[a, b]$ gibt so dass $f(x)=x$ gilt.
Tipp: Wenden Sie den Zwischenwertsatz auf eine geeignete Hilfsfunktion an.
(iii) Betrachten Sie die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x):=\frac{x+2}{2 x+5}$
und weisen Sie nach, dass $f$ die Voraussetzungen aus (ii) erfüllt. Bestimmen Sie alle Fixpunkte von $f$.
(iv) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion $f:(0,1) \rightarrow(0,1)$ an, die keinen Fixpunkt besitzt.

Comments

(i)  Es ist $f(1)<0$ und $f(2)>0$. (iv)  $f(x)=x^2$.

Answer 1

Hallo

zu i und iv hast du eine Antwort

bei ii verwende g(x)=f(x)-x und bestimme wieder einen Nullpunkt mit ZWS

iii dass f in dem Intervall stegtig ist kannst du wohl  und dann einfach f(x)=x  setzen und x bestimmen in dem Intervall-

Comments

Bei der ii). Für g(x)=f(x)-x finde ich keine Belegung sodass g(x) >  ist. Auch verstehe ich nicht wieso man das mit dem -x überhaupt macht.

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Kann es sein das du g(x)=x-f(x) meinst? Oder geht beides bzw. was sind die genauen Kriterien für eine Hilfsfunktion?

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Wobei es da aufs selbe hinausläuft. Hmm...