Aussagen äquivalent zur Konvergenz einer Folge (ak) ⊂ ℝ mit Grenzwert a ∈ ℝ sind

Question

Aufgabe:

Begründen bzw. widerlegen Sie jeweils, dass die folgenden Aussagen äquivalent zur Konvergenz
einer Folge (a_k) ⊂ ℝ mit Grenzwert a ∈ ℝ sind.
a) ∀ε > 0 : ∃n ∈ ℕ : ∀k ∈ ℕ_n : |a_k - a| < \( \frac{1}{ε} \)
b) ∀ε > 0 : ∃c > 0 : ∃n ∈ ℕ : ∀k ∈ ℕn : |a_k - a| < cε
c) ∃c > 0 : ∀ε > 0 : ∃n ∈ ℕ : ∀k ∈ ℕn : |a_k - a| < cε
d) ∀ε > 0 : ∀n ∈ ℕ : ∃k ∈ ℕ_n : |a_k - a| < ε

Problem/Ansatz:

Wie kann man das lösen?