Zeigen Sie dass die folgende Ungleichung gilt:

Question

Gegeben seien die endlichen Mengen \( A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \) mit \( n>1 \). Zeigen Sie dass die folgende Ungleichung gilt:

\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum \limits_{\substack{i, j=1 \\ i<j}}^{n}\left|A_{i} \cap A_{j}\right| \leq\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right| . \)

Ich vermute mal, man kann dort mit der Vollständigen Induktion arbeiten, bin mir aber nicht sicher, wie ich das ausführe.
1:

Sei n = 2

|A₁| + |A₂| - |A₁ ∩ A₂| ≤ |A₁ ∪ A₂|

2:

n=k

einfach die Formel aus der Fragestellung von oben übernommen nur n durch k ersetzen

3:

n=k+1

Wieder Formel von oben nur mit + |A_k+1| und + \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{k+1} |A_i∩A_k+1|\) auf der linken Seite und auf der rechten  ∪|A_k+1|.

Kp ob bis dahin richtig, aber wie würde es dann weiter gehen?

Comments

Hast Du denn den Fall n=2 schon bearbeitet? Oder ist der aus der Vorlesung bekannt?

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Den Schritt 3 kann man hier nicht lesen: Induktion ist die richtige Variante. Versuch beim Induktionsschluss dann auch mit den Rechenregeln zu Argumentieren.