Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung gilt.

Question

Zeigen Sie, dass für alle \( x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \) die folgende Ungleichung gilt:

\( \left|\sin \left(2 x_{2}\right)-\sin \left(2 x_{1}\right)\right| \leq 2\left|x_{2}-x_{1}\right| \)
Benutzen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Comments

Für x_1 = x_2 klar. o.E. x_1 < x_2. Setze y_1 = 2 x_1 und y_2 = 2 x_2. Dann existiert nach dem MWS ein z in (y_1, y_2) mit

\( \frac{\sin(y_2) - \sin(y_1) }{y_2- y_1} = \cos(z) \)

Beträge auf beiden Seiten bilden liefert

\( \left| \frac{\sin(y_2) - \sin(y_1) }{y_2 - y_1} \right| = |\cos(z)| \le 1 \)

Answer 1

Betrachte die Funktion mit f(x) = sin(2x) mit f ' (x) = 2cos(2x).

Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle \( x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \)

ein z zwischen \( x_{1}\) und \( x_{2} \) mit

\(   \frac{ f(x_2) -f(x_1)}{x_2-x_1} = f ' (z)  \)

==>  \(  \frac{ sin(2x_2) -sin(2x_1)}{x_2-x_1} = 2cos(z)  \)

Das gilt dann auch für die Beträge

\(  \frac{ | sin(2x_2) -sin(2x_1) | }{|x_2-x_1|} = |2cos(z)| \)

und weil |cos(z)| ≤1 gilt

\(  \frac{ | sin(2x_2) -sin(2x_1) | }{|x_2-x_1|} \le 1\)

Mit dem positiven Nenner multiplizieren, gibt für x₁≠x₂ die

gewünschte Ungleichung. Und bei Gleichheit

wird es zu der wahren Aussage 0≤0.