Unabhängigkeit in der Wahrscheinlichkeit

Question

Sei \( (\Omega, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum, also \( \Omega \) eine Menge, \( P \) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \( \Omega \).

Seien \( A, B \) Ereignisse mit \( A \cup B=\Omega \). Beweisen Sie, dass dann gilt:
\( P(A \cap B)=P(A) P(B)-P\left(A^{c}\right) P\left(B^{c}\right) \)
Tipps:
1. Zeichnen Sie ein Schaubild mit \( \Omega \) und darin \( A, B \) und die anderen beteiligten Mengen.
2. Überlegen Sie sich, warum \( P(A)+P\left(A^{c}\right)=1 \) gilt.
3. Überlegen Sie sich, warum \( B \backslash A=B \backslash(A \cap B) \) und \( A^{c} \cap B^{c}=\emptyset \) gelten.

Mir ist klar, dass es hier um Abhängig-/Unabhängigkeit geht, aber eine punkt verwirrt mich dezent, und zwar die A^c und B^c was genau sollen diese hier darstellen? Die Tipps helfen auch nicht wirklich, zumindest solange nicht bis ich ersteres verstanden habe.

Comments

Das ist die Schreibweise für das Komplement der Menge A. D.H. wenn z.B. Omega die Menge aus 1,2,3,4 ist und A= 1,2, dann ist A^c = 3,4

---

Oh, ich verstehe, vielen Dank!

Answer 1

A^c = Ω \ A

B^c = Ω \ B

Comments

Also A^c = B und B^c = A weil nur A und B in Omega sind?

---

Nein.

Beispiel. Ω = {1,2,3}, A = {1,2}, B = {2,3}.

Dann ist A^c = {3} ≠ B

weil nur A und B in Omega sind?

"M ist in N" bedeutet "M ist ein Element von N". In diesem Sinne sind A und B nicht in Ω. Stattdessen sind A und B Teilmengen von Ω. Grund ist, dass A und B Ereignisse sind und Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge.

---

Dann verstehe ich anscheinend die Aufgabe leider nicht ganz. A und B sind dann doch willkürlich.

\( P(A \cap B)=P(A) P(B) \) dieser Teil gilt, wenn A und B unabhängig sind, aber mit Komplementen dazu bin ich etwas verwirrt. Außerdem, da dort minus gerechnet wird, ist die W.keit von dem Schnitt dann 0? Weil der Schnitt leer ist oder verstehe ich das falsch?

---

A und B sind dann doch willkürlich.

So ganz willkürlich sind A und B nicht. Es muss

        \(A\cup B = \Omega\)

gelten.

\( P(A \cap B)=P(A) P(B) \) dieser Teil gilt, wenn A und B unabhängig sind, ...

Unabhänkgigkeit hat mit der Aufgabe erst ein mal nichts zu tun.

Außerdem, da dort minus gerechnet wird, ist die W.keit von dem Schnitt dann 0?

Genauer gesagt, wenn die in der Aufgabe zu beweisende Behauptung stimmt und \( A \cup B=\Omega \) ist und \( A \) und \(B\) unabhängig sind, dann ist \( P(A^\complement \cap B^\complement)= 0\). Sind nämlich \( A \) und \(B\) unabhängig, dann sind auch \(A^\complement\) und \(B^\complement\) unabhängig.

Aber, wie gesagt, in der Aufgabe geht es nicht um Unabhängigkeit.

Weil der Schnitt leer ist oder verstehe ich das falsch?

Ja, wenn \( A \cup B=\Omega \) ist, dann ist \(A^\complement \cap B^\complement = \emptyset\).

---

Dann verstehe ich leider nicht worum es in der Aufgabe geht und wie man das genau zeigt, tut mir leid..

---

Dann verstehe ich anscheinend die Aufgabe leider nicht ganz. A und B sind dann doch willkürlich

Ganz willkürlich eben nicht

P(A ∪ B) = P(Ω) = 1

Und wie du oben sagst, gilt P(A ∩ B) = P(A) * P(B) nur bei Unabhängigkeit.

Es kann helfen, wenn du dir eh erstmal über die Situation klar wirst und ein paar Beispiele in der Tat von oswald aufstellst und die anhand der Beispiele versuchst die Formel nachzuvollziehen.

Zumindest mir ist damit das Licht aufgegangen, wie ich das Beweisen kann.

---

Also aus Punkt 3 geht für mich heraus, dass A und B abhängig voneinander sind. Somit gilt die Formel für den unabhängigen Fall nicht mehr. Ich verstehe einfach nicht was

\( -P\left(A^{c}\right) P\left(B^{c}\right) \) genau aussagt.

---

Könnte ich noch eine genauere Erklärung kriegen?

---

Hast du Aufgabe 1 bereits gemacht oder hast du dort schon Schwierigkeiten? Hast du dir mal ein paar Beispiele notiert?

---

ja da habe ich schon Schwierigkeiten..