Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit:
(a) \( T_{1}:\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow(\mathbb{R},|\cdot|), f \mapsto f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) \),
(b) \( T_{2}:\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow\left(C^{0}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{0}}\right), f \mapsto f^{\prime} \),
(c) \( T_{3}:\left(C^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right), f \mapsto f^{\prime} \).

Problem/Ansatz:

Wie ich Stetigkeit zeige, ist mir bewusst, also entweder über Folgenstetigkeit,Epsilon Delta,...etc.. Aber in Bezug auf diese Aufgabe bekomme ich keinen direkten Ansatz. Das C ist in unserem Skript im Folgenden definiert:

45.8 Definition. Für \( k \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( C^{k}([a, b]) \) der Raum der \( k \)-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf \( [a, b] .\left(C^{0}([a, b])=C([a, b])=\right. \) Raum der stetigen Funktionen \( ) \),
\( \|f\|_{C^{k}}=\sum \limits_{l=0}^{k}\left\|f^{(l)}\right\|_{C^{0}}=\sum \limits_{l=0}^{k}\left\|f^{(l)}\right\|_{\infty} \)

Answer 1

Was sich hier als nützlich erweisen wird, ist die Tatsache, dass eine lineare Abbildung \( T\colon X \to Y\) zwischen zwei normierten Vektorräumen genau dann stetig ist, wenn ein \( c \ge 0\) existiert mit \( \left\| T( x) \right\|_{ Y}  \le c \left\| x\right\|_{ X}  \)

für alle \( x \in X\). Die Funktionale in deiner Aufgabe sind alle linear, wie du leichtüberprüfen kannst.

Für (a) existiert ein solches \( c \ge 0\), setze einfach die Definition der jeweiligen Norm ein.

Gleiches gilt für (b).

Bei (c) lässt sich die oben beschrieben Ungleichung als
\(\begin{aligned} \left\| f'\right\|_{\infty} + \left\| f''\right\|_{\infty} \le c ( \left\| f\right\|_{\infty} + \left\| f'\right\|_{\infty} )\end{aligned} \)
schreiben. Ein Gegenbeispiel wäre hier (für \( n \ge 3\))
\(\begin{aligned} f _{ n}\colon [ 0, 1] \to \mathbb{R}, \quad f _{ n} ( x)  = \frac{ x^{ n}}{ n},\end{aligned} \)
denn setzt man es in die obige Ungleichung ein, ergibt sich
\(\begin{aligned} \left\| x^{ n - 1}\right\|_{\infty} + ( n - 1) \left\| x^{ n - 2}\right\|_{\infty} \le c \left(\frac{1}{ n}\left\| x^{ n}\right\|_{\infty} + \left\| x^{ n-1}\right\|_{\infty}  \right)\end{aligned} \)
und berechnen der Suprema auf \( [ 0, 1] \) führt zu
\(\begin{aligned} 1 + ( n - 1) \le \frac{c}{ n} + 1\end{aligned}\)

was aber für keine Konstante \( c\) möglich ist, da wir \( n\) beliebig gross machen können.

Comments

Ich sehe nicht, wie Deine Funktionenfolge ein Gegenbeispiel sein kann: Es ist

$$T(f_n)=f'_n=0$$

Dann ist die geforderte Ungleichung doch mit jedem c erfüllt!?

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Richtig, ich hatte irgendwie die Ungleichung im Kopf vertauscht. Danke!

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Ich hab bei a) c=1 und b) c=3, ist das richtig? Und mit deinem Gegenbeispiel bei c) zeigst du ja, dass es nicht stetig ist?