0 Daumen
677 Aufrufe

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit:
(a) T1 : (C1([0,1]),C1)(R,),ff(12) T_{1}:\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow(\mathbb{R},|\cdot|), f \mapsto f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) ,
(b) T2 : (C1([0,1]),C1)(C0([0,1]),C0),ff T_{2}:\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow\left(C^{0}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{0}}\right), f \mapsto f^{\prime} ,
(c) T3 : (C2([0,1]),C1)(C1([0,1]),C1),ff T_{3}:\left(C^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \rightarrow\left(C^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{C^{1}}\right), f \mapsto f^{\prime} .


Problem/Ansatz:

Wie ich Stetigkeit zeige, ist mir bewusst, also entweder über Folgenstetigkeit,Epsilon Delta,...etc.. Aber in Bezug auf diese Aufgabe bekomme ich keinen direkten Ansatz. Das C ist in unserem Skript im Folgenden definiert:

45.8 Definition. Für kN0 k \in \mathbb{N}_{0} sei Ck([a,b]) C^{k}([a, b]) der Raum der k k -mal stetig differenzierbaren Funktionen auf [a,b].(C0([a,b])=C([a,b])= [a, b] .\left(C^{0}([a, b])=C([a, b])=\right. Raum der stetigen Funktionen ) ) ,
fCk=l=0kf(l)C0=l=0kf(l) \|f\|_{C^{k}}=\sum \limits_{l=0}^{k}\left\|f^{(l)}\right\|_{C^{0}}=\sum \limits_{l=0}^{k}\left\|f^{(l)}\right\|_{\infty}

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen


Was sich hier als nützlich erweisen wird, ist die Tatsache, dass eine lineare Abbildung T ⁣ : XY T\colon X \to Y zwischen zwei normierten Vektorräumen genau dann stetig ist, wenn ein c0 c \ge 0 existiert mit T(x)YcxX \left\| T( x) \right\|_{ Y} \le c \left\| x\right\|_{ X}

für alle xX x \in X. Die Funktionale in deiner Aufgabe sind alle linear, wie du leichtüberprüfen kannst.

Für (a) existiert ein solches c0 c \ge 0, setze einfach die Definition der jeweiligen Norm ein.

Gleiches gilt für (b).


Bei (c) lässt sich die oben beschrieben Ungleichung als
f+fc(f+f)\begin{aligned} \left\| f'\right\|_{\infty} + \left\| f''\right\|_{\infty} \le c ( \left\| f\right\|_{\infty} + \left\| f'\right\|_{\infty} )\end{aligned}
schreiben. Ein Gegenbeispiel wäre hier (für n3 n \ge 3)
fn ⁣ : [0,1]R,fn(x)=xnn,\begin{aligned} f _{ n}\colon [ 0, 1] \to \mathbb{R}, \quad f _{ n} ( x) = \frac{ x^{ n}}{ n},\end{aligned}
denn setzt man es in die obige Ungleichung ein, ergibt sich
xn1+(n1)xn2c(1nxn+xn1)\begin{aligned} \left\| x^{ n - 1}\right\|_{\infty} + ( n - 1) \left\| x^{ n - 2}\right\|_{\infty} \le c \left(\frac{1}{ n}\left\| x^{ n}\right\|_{\infty} + \left\| x^{ n-1}\right\|_{\infty} \right)\end{aligned}
und berechnen der Suprema auf [0,1] [ 0, 1] führt zu
1+(n1)cn+1\begin{aligned} 1 + ( n - 1) \le \frac{c}{ n} + 1\end{aligned}

was aber für keine Konstante c c möglich ist, da wir n n beliebig gross machen können.

Avatar von 4,8 k

Ich sehe nicht, wie Deine Funktionenfolge ein Gegenbeispiel sein kann: Es ist

T(fn)=fn=0T(f_n)=f'_n=0

Dann ist die geforderte Ungleichung doch mit jedem c erfüllt!?

Richtig, ich hatte irgendwie die Ungleichung im Kopf vertauscht. Danke!

Ich hab bei a) c=1 und b) c=3, ist das richtig? Und mit deinem Gegenbeispiel bei c) zeigst du ja, dass es nicht stetig ist?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage