Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit:
(a) T1 : (C1([0,1]),∥⋅∥C1)→(R,∣⋅∣),f↦f′(21),
(b) T2 : (C1([0,1]),∥⋅∥C1)→(C0([0,1]),∥⋅∥C0),f↦f′,
(c) T3 : (C2([0,1]),∥⋅∥C1)→(C1([0,1]),∥⋅∥C1),f↦f′.
Problem/Ansatz:
Wie ich Stetigkeit zeige, ist mir bewusst, also entweder über Folgenstetigkeit,Epsilon Delta,...etc.. Aber in Bezug auf diese Aufgabe bekomme ich keinen direkten Ansatz. Das C ist in unserem Skript im Folgenden definiert:
45.8 Definition. Für k∈N0 sei Ck([a,b]) der Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf [a,b].(C0([a,b])=C([a,b])= Raum der stetigen Funktionen ),
∥f∥Ck=l=0∑k∥∥∥f(l)∥∥∥C0=l=0∑k∥∥∥f(l)∥∥∥∞