Beweis der Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Question

Hallo, es geht um zwei Aussagen, die vereinfacht wurden:

$$ 1.\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}= \frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=(...) \newline $$

$$ 2. \begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-1\\k \end{pmatrix} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \newline = \frac{k(n-1)!+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \newline =(...) $$

Kann mir jemand erklären, wie man in 1. auf $$ \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} $$ kommt, was also gemacht wurde ?

Und kann mir jemand erklären, mit was man in 2. den Bruch erweitert und dann vereinfacht hat ? Danke im Voraus.

Answer 1

In 1. wurde \(k\) durch \(n-k\) ersetzt. Die Idee ist, dass man aus \(n\) Elementen \(k\) Elemente auswählen kann indem man aus \(n\) Elementen \(n-k\) Elemente auswählt und diese wegwirft.

In 2. erweitert man den ersten Bruch mit \(k\) um dann \(k\cdot(k-1)!\) zu \(k!\) umzuformen und den zweiten Bruch mit \(n-k\) um dann \((n-k)\cdot (n-1-k)!\) zu \((n-k)!\) umzuformen.