0 Daumen
230 Aufrufe

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N} \cup\{0\} \) heißt \( n !:=\prod \limits_{k=1} k \) Fakultät von \( n \). Wir definieren damit für \( n, k \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( k \leq n \) den Binomialkoeffizienten
\( \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right):=\frac{n !}{k !(n-k) !} \)

Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften des Binomialkoeffizienten für alle \( n, k \in \) \( \mathbf{N}_{0} \) mit \( k \leq n . \)
a) \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right) \);
b) \( \left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)=n \) und \( \left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)=1 \);
c) \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right) \).


Problem/Ansatz:

a.) und b.) habe ich hinbekommen, aber wie zeigt man c.)?

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) wird hier definiert als:$$\binom{n}{k}\coloneqq\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\quad;\quad0\le k\le n\quad;\quad k,n\in\mathbb N_0$$

Die Eigenschaften (a) und (b) rechnet man schnell nach:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot(\underbrace{n-(n-k)}_{=k})!}=\binom{n}{n-k}\quad\checkmark$$$$\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!\cdot(n-1)!}=\frac{n\cdot(n-1)!}{1\cdot(n-1)!}=n\quad\checkmark\quad;\quad\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1\quad\checkmark$$

Bei Eigenschaft (c) müssen wir etwas mehr rechnen:

$$\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(\underbrace{(n-1)-(k-1)}_{=(n-k)})!}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot( (n-1)-k )!}$$Wir erweitern, um die beiden Brüche auf den Hauptnenner zu birngen:$$\qquad=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}\cdot\frac{k}{k}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot(n-k-1)!}\cdot\frac{n-k}{n-k}$$ $$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot k}{\underbrace{(k-1)!\cdot k}_{=k!}\cdot(n-k)!}+\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{k!\cdot\underbrace{(n-k-1)!\cdot(n-k)}_{=(n-k)!}}$$ $$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{\overbrace{(n-1)!\cdot n}^{=n!}-(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!-(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}$$Nun können wir beide Brüche addieren und danach den Zähler vereinfachen:$$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot k+n!-(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\binom{n}{k}\quad\checkmark$$

Avatar von 148 k 🚀
0 Daumen

Hallo

die entsprechenden Brüche auf den Hauptnenner bringen und addieren.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community