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Aufgabe:

Beweise: ∀ n ∈ N:

\( \frac{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}} \) + 2*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}} \) + 3*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}} \) + ... + n*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix}} \) = \( \frac{n*(n+1)}{2} \)

von

Rechne einfach die Brüche aus den Binomialkoeffizienten aus.

\(\)----\(\)

Ich habe es mit \( \frac{∑(p=1; n) p*\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}}{∑(p=0; n) \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}} \) versucht, aber dann komme ich nur an \( \frac{n}{2} \). Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig Quatsch.

Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig Quatsch.

Bevor Du an der Aufgabe (evtl mit meinem Hinweis) weiterarbeitest, solltest Du Dir klar werden, ob diese Bewertung auf Deinen Ansatz zutriff.

Ok, Sinn macht es nicht.

Rechne einfach die Brüche aus den Binomialkoeffizienten aus.

Meinst du so?

∑(p=1;n) p*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\p-1 \end{pmatrix}} \)

Soll ich das ausrechnen?

Erst mal nur einen Summand, den Bruch aus den 2 Binomialkoeffizienten

berechne erstmal die 3 ersten Brüche, vielleicht klingelte dann!

oder betrachte das Ergebnis, kommt dir das bekannt vor?

lul

n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1

Summenformel Sn = n*(n+1)/2

Aber ich habe vergessen wie ich Beweise, dass n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n*(n+1)/2

Hallo

ohne Induktion, 2 mal die Reihe untereinander schreiben, in umgekehrter Reihenfolge, dann addieren  ergibt 2 mal die Summe.

1      2       3       4 ..........n

n    n-1   n-2     n-3..........1

+__________________

(n+1)+( n+1)+ (n+1).....+(n+1)= n*(n+1)

Gruß lul

Vielen lieben Dank!

1 Antwort

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Zu deinem letzten Kommentar:

Einfach mit vollst. Induktion.

n=1 ist wohl klar.

Wenn es für n gilt, also n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n*(n+1)/2

Dann hast du für n+1

(n+1) + n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1  wegen Ind. annahme:

= (n+1) +   n*(n+1)/2

=(2n+2)/2 +  (n^2 + n )/2

= (2n+2+n^2+n)/2

= (n^2+3n+2)/2

= (n+2)(n+1)/2    q.e.d.

von 251 k 🚀

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