Zeigen Sie, dass ƒ einen Fixpunkt hat

Question

Aufgabe:

(i) Sei ƒ : [a,b] → [a,b] stetig. Zeigen Sie, dass ƒ einen Fixpunkt hat, d.h. dass es ein x ∈ [a,b] gibt, so dass ƒ(x) = x gilt.

Wenden Sie den Zwischenwertsatz auf eine geeignete Hilfsfunktion an.

(ii) Betrachten Sie die Funktion ƒ : [-2,2] → ℝ mit

ƒ(x) := \( \frac{x+2}{2x+5} \)

und weisen Sie nach, dass ƒ die Voraussetzungen aus (i) erfüllt. Bestimmen Sie alle Fixpunkte von ƒ.

(iii) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion ƒ : (0,1) → (0,1) an, die keinen Fixpunkt besitzt.

Answer 1

Wegen ƒ : [a,b] → [a,b] gilt f(a)∈[a,b] und wenn nicht f(a)=a

(Dann ist eben a der Fixpunkt.),  dann gilt f(a)>a, also f(a)-a>0.

Analog  f(b)∈[a,b] und wenn nicht f(b)=b
(Dann ist eben b der Fixpunkt.), dann gilt f(b)<b, also f(b)-b<0.

Somit hat h(x)=f(x)-x bei a einen positiven und bei b einen

negativen Wert, also dazwischen ein z mit h(z)=0,

bzw f(z)=z.          q.e.d.

Answer 2

Zu (iii):

Wie wäre es mit \(f(x)=x^2\) ?