Bestimmen Sie eine Dichte der Gumbel-Verteilung.

Question

Aufgabe:

Die Gumbel-Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \( (\mathbb{R}, \mathfrak{B}) \) mit der Verteilungsfunktion \( F(x)=\exp (-\exp (-x)) \) für \( x \in \mathbb{R} \).

1) Bestimmen Sie eine Dichte der Gumbel-Verteilung.
2) Sei \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) eine Folge von unabhängigen, exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter \( \lambda=1 \).
Ferner sei \( Z_{n}:=\max \left\{X_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}-\log n \).

Zeigen Sie, dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt
\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(Z_{n} \leq x\right)=F(x)\)

Comments

1) F ableiten

2) sei G die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung zum Parameter λ=1

Dann ist

P(Zn <= x)

= P( max(X1,...,Xn) <= x + log(n) )

= G(x+log(n))^n

Da die Xi unabhängig sind

Für n>>0 ist x+log(n)>0 also

G(x+log(n)) = 1 - exp(-(x+log(n)) = ( 1 - exp(-x)/n )

Etc...

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danke MatHaeMatician