Aufgabe:
Die Gumbel-Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \( (\mathbb{R}, \mathfrak{B}) \) mit der Verteilungsfunktion \( F(x)=\exp (-\exp (-x)) \) für \( x \in \mathbb{R} \).1) Bestimmen Sie eine Dichte der Gumbel-Verteilung.2) Sei \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) eine Folge von unabhängigen, exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter \( \lambda=1 \). Ferner sei \( Z_{n}:=\max \left\{X_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}-\log n \).
Zeigen Sie, dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(Z_{n} \leq x\right)=F(x)\)
1) F ableiten
2) sei G die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung zum Parameter λ=1
Dann ist
P(Zn <= x)
= P( max(X1,...,Xn) <= x + log(n) )
= G(x+log(n))^n
Da die Xi unabhängig sind
Für n>>0 ist x+log(n)>0 also
G(x+log(n)) = 1 - exp(-(x+log(n)) = ( 1 - exp(-x)/n )
Etc...
danke MatHaeMatician
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