Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix T ∈ {O}(2 ; ℝ) und Konstanten a, b ∈ ℝ so, dass

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Betrachten Sie die Menge \( X=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid 41 x_{1}^{2}-24 x_{1} x_{2}+34 x_{2}^{2}=25\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2} \). Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix \( T \in \mathrm{O}(2 ; \mathbb{R}) \) und Konstanten \( a, b \in \mathbb{R} \) so, dass
\( h_{T}(X)=\left\{\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid a y_{1}^{2}+b y_{2}^{2}=1\right\}, \)
wobei \( h_{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto T x \) die zu \( T \) assoziierte lineare Abbildung bezeichnet.

Problem/Ansatz:

Ich habe zu aller erst die Symmetrische Matrix (41 -12

                                                                             -12 34)

aufgestellt. HAbe dann die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt um somit T (besteht aus den Eigenvektoren) zu bestimmen. (Ich hoffe das ist richtig) Und jetzt bin ich etwas überfragt.

Answer 1

Dann sind die Eigenvektoren

\(\small JD \, :=  \, \left\{ \left(\begin{array}{rr}4&-3\\-3&-4\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}50&0\\0&25\\\end{array}\right) \right\} \)

noch zu normieren ===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{4}{5}&\frac{-3}{5}\\\frac{-3}{5}&\frac{-4}{5}\\\end{array}\right)\)

\(⇔\vec x^T A\; \vec x = 25 ⇔ \vec x^T \;T^T A\;T\; \vec x=25\)

\(⇔ \, 50 \; x^{2} + 25 \; y^{2} = 25\)

\(⇔ q_N: \, 2 \; x^{2} + y^{2} = 1\)

Je nach Reihenfolge der EV in T kann das auch andersrum ausfallen...

siehe https://www.geogebra.org/m/avznhsff

Comments

du meinst mit x^2 und y^2 (y_1)^2 und (y_2)^2 oder ?

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So mein ich das

Schiebe in der app "variation EV"

Da ist übrigens S=T und T = id (weil kein x,y in der Gleichung)

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Ah ok verstehe. Haben die Schnittpunkte der Ringe eine besondere bedeutung?

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Nun, das ganze heißt ja Hauptachsentransformation mit dem Ziel die Quadrik zu drehen und zu verschieben so das der Typ (hier Ellipse, keine Ringe) zu erkennen ist - die Standardkoordinatenform zu erhalten. Man stellt die eine oder die andere Form zusammen - Schnittpunkte fallen da gar nicht erst auf....