Drücke den Gradienten von g in dem von f aus

Question

Aufgabe:

Sei f ∈ C¹(ℝ²) und g(x) := f(Ax), wo A eine 2 × 2-Matrix ist. Drücke den Gradienten von g in dem
von f aus.

Comments

Schreib einfach Ax auf  mit A durch a₁₁ bis a₃₃ beschrieben und bilde dann den grad

Gruß lul

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Lul, kannst du zeigen, wie das aussieht?

Answer 1

Setzte \(y = Ax\). Dann ist die zugehörige Jacobi-Matrix \(J_{Ax}(x) = A\) für alle \(x\).

Per Kettenregel gilt nun

$$\operatorname{grad} g(x) = \left. \operatorname{grad} f(y)\right|_{y=Ax} \cdot J_{Ax}(x) = \left. \operatorname{grad} f(y)\right|_{y=Ax} \cdot A $$