Gleichungssystem aufbauen in Matrix-Vektor Schreibweise

Question

Seien x₁(n) und x₂(n) die Eingänge und y(n) der Ausgang eines unbekannten Systems.
Das System soll nun näherungsweise durch eine Gleichung der Form w₁*x₁(n) + w₂*x₂(n) = y(n) beschrieben werden.

a) Zunächst werden drei Messungen durchgeführt. Es werden drei verschiedene Eingangswertepaare
x₁(n); x₂(n) in das System gegeben und entsprechen drei Ausgangswerte
y(n) gemessen:

x₁(1) = 3; x₂(1) = 1; y(1) = 4
x₁(2) = 1; x₂(2) = 0; y(2) = 1
x₁(3) = 1; x₂(3) = 2; y(3) = 2

Geben Sie die drei Gleichungen in Abhängigkeit von w1 und w2 an, die sich durch die
Messung ergeben.

Sehe ich das richtig dass ich bei dieser Aufgabe nur die jeweiligen w's hinter die Zahlen schreiben soll also:

3w₁ +w₂ = 4

w₁ = 1

w₁ + 2w₂ = 2

und bei b) Schreiben Sie das Gleichungssystem aus Aufgabe a) in Matrix-Vektor Schreibweise
in der Form Xw = y

wäre X dann \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

w = \( \begin{pmatrix} w_1\\w_2 \end{pmatrix} \)

y= \( \begin{pmatrix} 4\\1\\2 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Hallo,

das ist alles richtig! Die wahrscheinlichsten Werte für \(w_{1,2}\) erhält man in solchen Fällen durch die Lösung der sogenannten Normalengleichung$$X^TXw = X^Ty$$In diesem konkreten Fall ist das $$w = \begin{pmatrix}35/30\\ 13/30\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1,17\\ 0,43\end{pmatrix}$$Falls Du dazu noch Fragen hast,so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Ich bin es so gewohnt das Dinge irgendwo eine Falle haben / sind im Studium :D

Deine Antwort ist dann vermutlich meine d)

d) Berechnen Sie zunächst A = X^T X und b = X^Ty und lösen Sie dann Aw = b (Normalengleichung).