Lipschitz-stetig, Lipschitz-Konstante L .

Question

Könnte jemand bitte bei der Aufgabe helfen?

Text erkannt:

(2) \( \mathcal{C}^{1} \) UND LIPSCHITZ-STETIGKEIT: Es sei \( D \subset \mathbb{R}^{d} \) offen sowie \( K \subset D \) kompakt und konvex. Weiters sei \( f \in \mathcal{C}^{1}(D ; \mathbb{R}) \) und \( L:=\sup \left\{\left\|f^{\prime}(\xi)\right\|: \xi \in K\right\} \). Zeigen Sie, dass \( f \) eingeschränkt auf \( K \) Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante \( L \). Weisen Sie damit nach, dass
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}: x \mapsto \frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} x_{1}^{2} x_{2} \\ \sin \left(x_{1} x_{2}\right) \end{array}\right] \)
eingeschränkt auf \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2}:\|x\|_{\infty} \leq 1\right\} \) eine Kontraktion bezüglich \( \|\cdot\|_{\infty} \) ist.

Answer 1

Zum ersten Teil: Sei \(x,y \in K\), dann sagt der Mittelwertsatz:

$$|f(x)-f(y)=|\int_0^1 f'(x+t(y-x)(y-x)\; dt| \\\quad \leq \int_0^1 \|f'(...)\|\|y-x\|\;dt\leq K\|y-x\|$$

Dies Aussage kannst Du dann auf die Komponten im Beispiel anwenden.