Zeigen Sie, dass C1([0,1];||·||) vollständig ist:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $C^{1}([0,1],\|\cdot\| \mid)$ vollständig ist, d.h. dass jede Cauchyfolge $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ in $C^{1}([0,1])$ bezüglich $\|\cdot\|$ konvergiert (also insbesondere auch der Grenzwert wieder in $C^{1}([0,1])$ liegt).

Problem/Ansatz:

Ich hätte mir dazu folgendes überlegt:

Angenommen, f_n ist eine Cauchy-Folge in C¹[0,1], dann gilt für jedes ϵ>0,∃M∈ℕ, sodass

$\left\|f_{n}-f_{m}\right\|=\left\|f_{n}-f_{m}\right\|_{\infty}+\left\|f_{n}^{\prime}-f_{m}^{\prime}\right\|_{\infty} \leq \epsilon, \forall m, n \geq M$

Für jedes feste $x \in C^{1}[0,1],\left\|f_{n}-f_{m}\right\|_{\infty} \leq \epsilon$ und $\left\|f_{n}^{\prime}-f_{m}^{\prime}\right\|_{\infty} \leq \epsilon$ und somit für dieses feste $x f_{n}$ und $f_{n}^{\prime}$ Cauchy-Folgen und konvergieren daher: $f_{n} \rightarrow f$ und $f_{n}^{\prime} \rightarrow f^{\prime}$.

Sei $m \rightarrow \infty$ dann $\left\|f_{n}-f\right\| \leq \epsilon, \forall n \geq M, \forall x \in[0,1]$. Somit gilt:
$\begin{aligned} \left\|f_{n}-f\right\| & =\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}+\left\|f_{n}^{\prime}-f^{\prime}\right\|_{\infty} \\ & =\sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|+\sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)\right| \\ & \leq \epsilon \quad \forall n \geq M \end{aligned}$
Daher ist $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|f_{n}-f\right\|=0 \Longrightarrow C^{1}[0,1]$ ist vollständig.

Sind diese Überlegungen richtig und reicht das aus?

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass Ihr schon gezeigt habt, dass $(C[0,1],\|.\|_{\infty})$ vollständig ist.

Dann gilt: Wenn $(f_n)$ Cauchy-Folge in $(C^1[0,1],\|.\|)$ ist, dann sind $(f_n)$ und $(f'_n)$ Cauchy-Folgen in $(C[0,1],\|.\|_{\infty})$ - das hast du auch benutzt. Daraus folgt, dass Funktionen $f,g$ existieren mit $\|f_n-f\|_{\infty}\to 0$ und $\|f'_n-g\|_{\infty}\to 0$. Dann ist zu zeigen, dass $f'=g$ ist.

Dies kann entweder durch einen bekannten Satz erfolgen oder auch einfach gezeigt werden:

$$f_n(x)=f_n(0)+\int_0^xf'_n \Rightarrow f(x)=f(0)+\int_0^xg \Rightarrow g=f'$$

Der Grenzübergang unter dem Integral ist erlaubt, weil ja die Ableitungen gleichmäßig konvergieren.

Dann folgt, wie Du gezeigt hast, dass $\|f_n-f\| \to 0$ (also Konvergenz in $C^1[0,1]$)

Comments

ich gehe davon aus, dass Ihr schon gezeigt habt, dass $(C[0,1],\|.\|_{\infty})$ vollständig ist.

Ja das haben wir in der Tat schon beweisen!

Ansonsten vielen Dank für deine Hilfe ☺