Metrischer Raum. i) Jede Folge in X hat höchstens einen Grenzwert, ii) Konvergente Folgen in X sind beschränkt

Question

Wie zeige ich die Äquivalenz der folgenden Aussagen. ?

Äquivalenz zeigen metrischer Raum.

 i) Jede Folge in X hat höchstens einen Grenzwert,

ii) Konvergente Folgen in X sind beschränkt.

iii) Konvergente Folgen in X sind Cauchyfolgen.

Answer 1

i) Seien a,b ∈ X Grenzwerte von (a_n)_n∈ℕ. Gilt nun

        d(a_n, a) < ε und d(a_n, b) < ε ∀ n>N,

dann folgt wegen Dreieckungleichung

        d(a-b) ≤ d(a_n, a) + d(a_n, b) < 2ε ∀ n>N.

Weil ε beliebig gewählt wurde, gilt dann auch

        d(a-b) < δ

für alle δ > 0. Also ist d(a-b) = 0 und somit a = b.

ii) Sei a Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ und N∈ℕ so dass d(a, a_n) < 1337 für alle n>N. Dann ist die Folge aber der Stelle N beschänkt und die Folge bis zur Stelle N endlich, also auch beschränkt.

iii) Dreiecksungleichung ähnlich wie bei i).

Answer 2

    Macht  das Internet dumm?  Wo hast du Topologie gelernt;  im Franzbändchen ( Franz / Frankfurt ) ?   Weil zu den Axiomen des metrischen Raumes  zählt auch immer,   der Abstand sei nicht negativ - so als müsste das jemand  " verhindern "   Klingt erst mal anschaulich; doch im Internet finde ich den Beweis:

       0  <  =   d  (  x  ;  x  )  <  =  d  (  x  ;  y  )  +  d  (  y  ;  x  )  =

    ( Dreiecksungleichung )        (  1a  )

       =  2   d  (  x  ;  y  )     (  Symmetrie  )     (  1b  )

Ich lade dich ein, dich mal mit der Teorie von ===>  Edward Nelson zu beschäftigen ; der nonstandard Analysis  ( NSA  ;  IST )  Dabei steht   IST so wohl für  "  Internal Set Theory  "  als auch für Nelsons drei Axiome, von denen  ===>  Trtansfer, wie wirg gleich sehen werden, mit das wichtigste ist.

   Lehrbuch:  Alain Robert bei Wiley;  neueste Ausgabe bei Amazon.  Gerade dein Kram mit dem metrischen Raum findet da breiteste  Beachtung.

   Zunächst zwei Konventionen; die Variable   "  klein  a  "    möge nur dann geschrieben werden  "  groß  A  "  , wenn ihr Wertebereich auf Standard beschränkt ist ( Die   NSA  ist  " case sensitive "  ) Und für inf(initesimale)  Größen reservieren wir griechische Buchstaben.

   Die  NSA  arbeitet ganz typisch  mit ===>  impliziten Definitionen.  Und zwar wird unter Punkt i)  Konvergenz beschrieben durch das  ===>  Robinsonlemma.  Wir gehen aus von einer Standardfolge  A  <  n  >  ;  über Transfer folgt dann, dass ihr Grenzwert  G eben Falls Standard ist.  Die Aussage von Robinson

   "  G ist Grenzwert  von A < n >  genau dann, wenn  für alle Nonstandard n

      D  [  A  (  n  )  ;  G  ]  =  inf  =  €     "      (   2a  )

    Wir bezeichnen  G als den Schatten jener  A ( n )  und schreiben

          G  =:  [  A  (  n  )  ]  *          (  2b  )

     Und diese Definition ist ja nur Sinn voll, wenn  sie eindeutig ist.  Ich möchte vorher noch eine Relation einführen

     x  (  =  )  y  |  D  (  x  ;  y  )  =  inf          (  2c  )

       In ( 2c ) wollen wir sagen:   x und y sind fast gleich.

    Wir nehmen also an, es gebe zwei Grenzwerte G und G '  Dann   gesellt sich zu  ( 2a ) die analoge  Identität

          A  (  n  )  (  =  )  G             (  3a  )

          A  (  n  )  (  =  )  G  '           (  3b  )

    Und noch ein Wort in eigener Sache. Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch.  Es heißt nicht  "  Äquivalenzrelation  "  , sondern Gleichheitsbeziehung  (  GB  )   Und ( 2c )  ist so eine (Pseudo) GB ;  sie ist nicht nur reflexiv und symmetrisch, sondern auch transitiv:

      G  (  =  )  G  ' ===>  D  (  G  ;  G  '  )  =  inf       (  3c  )

    Nun folgt aber durch trivialen Transfer

       D  (  G  ;  G  '  )  =  Standard      (  3d  )

     D  (  G  ;  G  '  )  =  Standard inf  =  0    (  3e  )

     und damit die Behauptung G = G '

    Unterpunkt  ii)  konvergente Folgen sind beschränkt.  Schaut mich merkwürdig a; auf einem metrischen Raum gibt es ja keine Norm.   Ich stelle es mir mal so vor;  der Abstand zum Grenzwert G   kann eine obere Schranke nicht überschreiten.

   Fallunterscheidung;  die Folge enthält überhaupt nur  endlich viele Glieder - trivial.   Ansonsten wähle n0 Nonstandard; wir betrachten die endliche Teilfolge

    A1  ,  A2  ,  A3  ,  ...  ,  A  (  n0  )       (  4  )

     Weil auf Grund des Robinsonlemmas sind ja alle Folgenglieder  A_i mit i > n0  nur noch inf von G entfernt. Da ja die Anzahl der Folgenglieder als unendlich voraus gesetzt wurde,  können nicht sämtliche Terme von ( 4 ) gleich G sein.     Wieder Transfer;  wären alle Standard A_N  =  G , so auch alle übrigen.  Demnach muss es in ( 4 ) ein N0 geben mit D ( A_N0 ; G ) = max  ; und durch dieses  Maximum ist die Folge beschränkt.

   Unterpunkt iii)   Die implizite Definition der Cauchyfolge lautet: A < n >  ist Cauchyfolge genau dann, wenn

     (V)  k  ,  m  Nonstandard  A  (  k  )  (  =  )  A  (  m  )    (  5  )

    vielleicht so: Du hast ein Zweiklassen-Regime.  Der Abstand zweier Standard Folgenglieder ist ja Standard ( Transfer )  Und auf den Nonstandard Plätzen rücken die Folgenglieder einander inf dicht auf die Pelle.

    Mit dem Robinsonlemma hast du folgende Schlusskette

           A  (  m  )  (  =  )   G         (  6a  )

          A  (  k  )  (  =  )  G           (  6b  )

         A  (  m  )  (  =  )  A  (  k  )        (  6c  )      wzbw

     In einem Usermanual  hab ich mal gelesen

     " Basic macht Freude. "

     Genau so hier; als Student habe ich Analysis, die " epsilontik "  , in den siebten Kreis der Hölle verflucht.

   Seit Nelson macht sie mir Freude; die berüchtigten beweistechnischen Tricks werden alle eliminiert. An die Stelle von Ungleichungen treten Algebra und Quantorenlogik.