Aufgabe:
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und sei \( A \subset X \).
(a) (2 Bonuspunkte) Sei \( A \) kompakt. Zeigen Sie, dass \( A \), versehen mit der Relativmetrik, vollständig ist.
(b) (4 Bonuspunkte) Sei \( A \) total beschränkt. Zeigen Sie, dass jede Folge in \( A \) eine CauchyTeilfolge besitzt. (Hinweis: Sei \( \left(x_{n}\right) \) eine Folge in A. Konstruieren Sie rekursiv eine Folge \( \left(B_{k}\right) \) von Kugeln mit Radius \( \frac{1}{k} \) und eine Teilfolge \( \left(x_{n_{k}}\right) \) von \( \left(x_{n}\right) \) mit \( x_{n_{k}} \in \) \( \left.B_{1} \cap \ldots \cap B_{k}\right) \)
(c) (2 Bonuspunkte) Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann kompakt ist, wenn \( A \) total beschränkt und vollständig ist.
Problem/Ansatz:
