Zeigen, Sie, dass (Z, d) genau dann folgenkompakt ist, wenn (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) beide folgenkompakt sind.

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(X, d_{X}\right) \) und \( \left(Y, d_{Y}\right) \) zwei metrische Räume mit \( X \neq \emptyset \) und \( Y \neq \emptyset \). Auf \( Z:=X \times Y \) definieren wir eine Abbildung \( d: Z \times Z \rightarrow \mathbb{R} \) durch

\( d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=d_{X}\left(x_{1}, x_{2}\right)+d_{Y}\left(y_{1}, y_{2}\right), \quad\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in Z \)

Zeigen, Sie, dass \( (Z, d) \) genau dann folgenkompakt ist, wenn \( \left(X, d_{X}\right) \) und \( \left(Y, d_{Y}\right) \) beide folgenkompakt sind.

Problem/Ansatz:

Ich hab noch einige Probleme mit dem folgenkompakt. Wie gehe ich denn genau dabei vor das zu beweisen. Ich weiß dass das eine Äquivalenz ist und ich dann erstmal annehmen kann dass (Z,d) folgenkompakt ist, aber wie zeige ich dann dass (X,d) und (Y,d) folgenkompakt sind?

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass bereits gezeigt ist, dass \(d\) eine Metrik auf \(Z\) definiert.

zunächst zu "\( \Leftarrow \)": Sei \( ((x_n,y_n))_{n\in\mathbb{N}} \subseteq Z \) eine beliebige Folge in \(Z\). Da \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X\) existiert eine konvergente Teilfolge \((x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}},\) d.h.\( x_{n_k}\to x\in X\).

Da \((y_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} \subseteq Y \) existiert wiederrum eine konvergente Teilfolge \((y_{n_{k_l}})_{l\in\mathbb{N}} \) d.h. \( y_{n_{k_l}}\to y\in Y\). Dann ist aber auch \( x_{n_{k_l}}\to x\).

\(\Longrightarrow 0 \leq d((x_{n_{k_l}}, y_{n_{k_l}}),(x,y)) = d_X(x_{n_{k_l}},x) + d_Y(y_{n_{k_l}},y) \to 0\), also \((x_{n_{k_l}}, y_{n_{k_l}})\to (x,y) \) in \( (Z,d) \).

Sei nun \((Z,d)\) folgenkompakt und \((x_n)_n\subseteq X, (y_n)_n \subseteq Y\) zwei beliebige Folgen. \( \Rightarrow ((x_n,y_n))_n \subseteq Z \). Dann existiert eine konvergente Teilfolge \((x_{n_k},y_{n_k})_k \), d.h. \( (x_{n_k},y_{n_k}) \to (x,y)\in Z \).

\( \Longrightarrow 0 \leq d_X(x_{n_k},x) = d_X(x_{n_k},x) + d_Y(y_{n_k},y) - d_Y(y_{n_k},y) \leq d_X(x_{n_k},x) + d_Y(y_{n_k},y) = d((x_{n_k},y_{n_k}),(x,y)) \to 0\), also \( x_{n_k} \to x \) in \( (X,d_X) \). Analog for \((y_{n_k})_k \).