Sei k \in \mathbb{N} . Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

Question

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Aufgabe 2 (8 Punkte). Sei \( k \in \mathbb{N} \). Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Für \( a>1 \) gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{a^{x}}{x^{k}}=\infty \).
(4P.)
(ii) Für \( 0<a<1 \) gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} a^{x} \cdot x^{k}=0 \).
(4P.)

Answer 1

(i) würde ich hopital machen. $$(\frac{d}{dx})^n[a^x]=a^xlog^n(a)$$

$$(\frac{d}{dx})^n[x^k]=k!$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a^xlog^n(a)}{k!}=\infty$$

Da im Nenner nur noch ein konstanter Faktor steht.

und $$\lim\limits_{x\to\infty}a^xlog^n(a)=\infty$$

(ii)

$$\lim\limits_{x\to\infty}a^xx^k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^k}{\frac{1}{a^x}}$$

jetzt wieder Hopital

$$(\frac{d}{dx})^n[\frac{1}{a^x}]=(-1)^n\frac{log^n(a)}{a^x}$$

$$(\frac{d}{dx})^n[x^k]=k!$$

Also:

$$\lim\limits_{x\to\infty}(-1)^n\frac{k!}{\frac{log^n(a)}{a^x}}=0$$

da

$$\lim\limits_{x\to\infty}(-1)^n\frac{log^n(a)}{a^x}=\infty$$

da

$$\lim\limits_{x\to\infty}a^x=0$$

und der Zähler konstant.

LG