Zeigen sie, dass es ein z aus R2 gibt... | “Mittelwertsatz”

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz

Könnte mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen:) ich weiß nicht so ganz wie ich rangehen soll

Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar, \( x, y \in \mathbb{R}^{2} \). Zeigen Sie, dass es ein \( z \in \mathbb{R}^{2} \) gibt mit
\( f(y)-f(x)=\left(y_{1}-x_{1}\right) \partial_{1} f\left(z_{1}, y_{2}\right)+\left(y_{2}-x_{2}\right) \partial_{2} f\left(x_{1}, z_{2}\right) \)

Comments

Hier ist der Standardbeweis: Link.

Answer 1

Das ist eine etwas ungewöhnliche Variante des Mittelwertsatzs:

$$f(y_1,y_2)-f(x_1,x_2)=(f(y_1,y_2)-f(x_1,y_2))+(f(x_1,y_2)-f(x_1,x_2)$$

Andwendung des 1-dim-Mittelwertsatzes auf die erste Differenz liefert die Existenz eines \(z_1 \in \R\) mit

$$f(y_1,y_2)-f(x_1,y_2)=(x_1-x_1)\partial_1f(z_1,y_2)$$

Analog für die 2. Differenz.