Man berechne ∆u für die Funktionen φ (r) = rα, φ (r) = \frac{1}{r} eαr, φ (r) = \frac{1}{r} sin (αr) .

Question

Aufgabe:

Es sei x ∈ ℝⁿ, r = ∥x∥₂ und u : ℝⁿ \ {0} → ℝ zweimal stetig differenzierbar sowie radialsymmetrisch, d.h. es existiert ein ω ∈ C₂ ((0, ∞); ℝ) so dass gilt u = φ ◦ r.

Man berechne ∆u für die Funktionen
(a) φ (r) = r^α
(b) φ (r) = \( \frac{1}{r} \) e^αr
(c) φ (r) = \( \frac{1}{r} \) sin (αr)

wobei α ≠ 0 ist, und gebe alle Fälle an, in denen u einer Differentialgleichung ∆u = λu mit einem geeigneten λ ∈ ℝ genügt.

Könnte jemand helfen? Ich habe leider nicht mal einen Ansatz.

LG Blackwolf

Comments

Das ist doch zunächst eine reine Rechenaufgabe. Du musst mit der Kettenregel die partiellen Ableitungen

$$\partial_i (\phi \circ r) \text{ und }\partial_i^2(\phi \circ r)$$

Berechnen.....