Laplace-Operator: Funktion Differenzierbarkeit |x|

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass ∆f_n = 0 in R^n \ {0} gilt, müssen wir die Laplace-Operator-Formel in n-dimensionalen kartesischen Koordinaten betrachten:

∆f = ∂^2f/∂x_1^2 + ∂^2f/∂x_2^2 + ... + ∂^2f/∂x_n^2,

wobei ∂^2f/∂x_i^2 die zweite partielle Ableitung von f nach der i-ten Komponente ist.

Für n ≥ 3 haben wir die Funktion f_n(x) = |x|^(2-n). Da |x| = √(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2), können wir die partiellen Ableitungen berechnen. Dann können wir die zweiten partiellen Ableitungen berechnen:

Summiert über alle i erhalten wir:

Am Ende müssen wir sehen, dass der Ausdruck in der Klammer null ist.  (da die Quadrate der Komponenten die Normquadrate von x ergeben). Daher gilt ∆f_n = 0 in R^n \ {0}.

Unser Ansatz wirkt sehr aufwendig und nicht zielführend. Wir wissen selbst nicht mehr weiter bei der Aufgabe.

Comments

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/1021493/laplace-operator-x-2-n

Answer 1

Euer Ansatz funktioniert. Es hilft hier,die Rechnung geschickt aufzusplitten und nicht alle Terme auf einmal hinzuschreiben.

Zur Abkürzung schreibe ich \(\partial_i\) für \(\frac{\partial}{\partial x_i}\).

Nun rechnen wir zunächst nur für die beliebige Koordinate \(x_i\) und summieren zum Schluss:

$$|x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\Rightarrow \partial_i|x| = \frac {x_i}{|x|}$$

Per Kettenregel erhalten wir

$$\partial_i \left(|x|^{2-n}\right) = (2-n)|x|^{1-n}\frac {x_i}{|x|}=(2-n)x_i|x|^{-n}$$

$$\partial_i^2 \left(|x|^{2-n}\right) =(2-n) \partial_i \left(x_i|x|^{-n}\right)$$$$\stackrel{Produktregel}{=} (2-n)\left(|x|^{-n}+ x_i (-n) |x|^{-n-1}\frac {x_i}{|x|}\right)$$$$ =(2-n)\left(|x|^{-n}-n x_i^2  |x|^{-n-2}\right)= \frac{2-n}{|x|^{n+2}}\left(|x|^2 - nx_i^2\right)$$

Jetzt einfach aufsummieren:

$$\Delta \left(|x|^{2-n}\right) = \sum_{i=1}^n\partial_i^2 \left(|x|^{2-n}\right)$$

$$= \frac{2-n}{|x|^{n+2}}\sum_{i=1}^n\left(|x|^2 - nx_i^2\right) \stackrel{|x|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2}{=}\frac{2-n}{|x|^{n+2}} \left(n|x|^2 - n|x|^2 \right) = 0$$