Für welche lamda ist die Matrix diagonalisierbar

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist die Matrix \( A_{\lambda}=\left(\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ \lambda^{2} & 1\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 ; \mathbb{R}) \)

diagonalisierbar

Problem/Ansatz:

Ich würde über die Eigenwerte eigentlich rangehen und dann die Eigenräume auf Vielfachheit prüfen allerdings klappt das hier nicht so ganz

Answer 1

Das charakteristische Polynom lautet nach meinen Berechnungen
\(p_\lambda(t)=t^2-(\lambda+1)t+\lambda^2+\lambda\).
Die Diskriminante von \(p_\lambda\) lautet
\(D=(\lambda+1)^2-4{\cdot}1{\cdot}(\lambda^2+\lambda)=(\lambda+1){\cdot}(1-3\lambda)\).

Für \(D<0\) hat es keine rellen Nullstellen, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren und \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(\lambda<-1\) oder \(\lambda>\frac13\).

Für \(D>0\) hat es zwei verschiedene reelle Nullstellen, d.h. \(A_\lambda\) ist diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(-1<\lambda<\frac13\).

Es bleiben die Fälle \(\lambda=-1\) oder \(\lambda=\frac13\). Man rechnet leicht nach, dass es dann jeweils nur einen linear unabhängigen Eigenvektor gibt, d.h. \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.

Comments

Ah vielen dank. Das hatte ich alles genauso nur ich wusste dann nicht genau was ich mit den werten für Lamda anfnagen soll um auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen.