Berechne die Koordinaten y und z.

Question

Aufgabe:

Lotrecht über S(1/-2/3) liegt der Punkt P(-5/y/z). Berechne die Koordinaten y und z.

S ist der Schnittpunkt von zwei Geraden und diese zwei geraden liegen in einer Ebene.

Problem/Ansatz:

Was soll ich machen ?

Text erkannt:

Gegeben sind die Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -4 \\ 4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), r, s \in \mathbb{R} \)

Comments

Aus deinem Text werde ich nicht schlau. Stell bitte mal die ganze Aufgabe hier ein.

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Text erkannt:

Gegeben sind die Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -4 \\ 4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), r, s \in \mathbb{R} \).
a) Zeigen Sie, dass sich \( g \) und \( h \) in \( S(1|-2| 3) \) schneiden.
b) Die Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) liegen in einer Ebene E.
Stellen Sie die Ebene E durch eine Parametergleichung dar.
Zeigen Sie, dass die Ebene E die Koordinatenform \( 3 x-4 y+z=14 \) besitzt.
c) Lotrecht über \( S \) liegt der Punkt \( P(-5|y| z) \). Berechnen Sie die Koordinaten y und z. Kontrolle: \( P(-5|6| 1) \)
d) Der Punkt P wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes \( \mathrm{P}^{\prime} \).

Answer 1

a) Für r=1 und s=-2 ergibt sich in beiden Geraden der Punkt S.

Und weil die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, sind die

Geraden verschieden und schneiden sich also in S.

b) Die Ebene kann man z.B. darstellen durch

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)  r, s \in \mathbb{R} \)

\(    \vec{n}= \left(\begin{array}{l}3 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)\) ist ein gemeinsamer

Lotvektor für die Richtungsvektoren der Ebene, also ist die Gleichung in der

Punkt-Normalenform   \(   \left(\begin{array}{l}3 \\ -4 \\ 1\end{array}\right) \cdot( \vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)) = 0 \)

<=>  \( 3 x-4 y+z=14 \)

c)  \(  \left(\begin{array}{l} -5 \\ y \\ z\end{array}\right)   =   \left(\begin{array}{l}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)+t\cdot     \left(\begin{array}{l}3 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)\)

==>  -5=1+3t ==>  t=-2.

==>  \(  \left(\begin{array}{l} -5 \\ y \\ z\end{array}\right)  =  \left(\begin{array}{l}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)-2\cdot   \left(\begin{array}{l}3 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)\)

==>  \(  \left(\begin{array}{l} -5 \\ y \\ z\end{array}\right)  =  \left(\begin{array}{l}-5 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\)

\( \vec{p'}= \vec{p}+2  \vec{PS} =\left(\begin{array}{l} -5 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)  +4\cdot \left(\begin{array}{l}3 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{l}7 \\ 10 \\ 5\end{array}\right)\)